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L'INCONTOURNABLE DU CHAPITRE

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Formules des probabilités

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Formules des probabilités

 

Définition

 

Soient $A$ et $B$ deux événements de $\Omega$, l'ensemble des issues d'une expérience aléatoire.

La probabilité d'un événement $P(A)$ se calcule grâce au quotient suivant :

$P(A) = \dfrac{\text{nombre d'éléments de } A}{\text{nombre d'issues de } \Omega}$. 


En outre,  une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1 (le nombre d'issues de $A$ ne peut être négatif et il ne peut pas dépasser le nombre d'éléments de $\Omega$). 

 

Propriétés

 

La probabilité de l'ensemble vide vaut 0 : $P(\varnothing) = 0$.

La probabilité de $\Omega$ vaut 1 : $P(\Omega) = 1$. 

Par exemple, si on considère l'expérience du lancé de dé, l'univers $\Omega$ est l'ensemble des entiers compris entre 1 et 6, donc

$P(\Omega) = \dfrac{\text{nombre d'issues de } A}{\text{nombre d'issues de } \Omega} = \dfrac{6}{6} = 1$. 

 

Événement contraire

 

La probabilité de l'événement contraire à $A$, noté $\overline{A}$ et contenant toutes les issues n'appartenant pas à $A$, vaut

$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$. 

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Probabilité de la réunion de deux événements

 

Pour calculer la probabilité de la réunion de deux événements, il est possible de compter le nombre d'issues appartenant à la réunion mais il existe aussi une formule : 


$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. 

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Cette formule dit que la probabilité de la réunion est égale à la somme des probabilités des deux événements à laquelle on soustrait la probabilité de l'intersection car on avait compté deux fois les issues appartenant à la fois à $A$ et à la fois à $B$ (on les avait ajoutées lors du calcul de $P(A)$ puis on les avait ajoutées à nouveau pour le calcul de $P(B)$). 

 

Exemple : 

On lance un dé à 6 faces.

On considère les événements

$A = "\text{obtenir un nombre pair}"$ 

$B = \text{"obtenir un nombre plus grand que 5"}$. 

 

On cherche à calculer $P(A\cup B)$ :

$P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

Or il y a trois nombres pairs possibles (2; 4; 6), donc $P(A) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$.

Et il y a deux nombres plus grands que 5 ainsi $P(B) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$.

Aussi, il existe un nombre pair et plus grand que 5 (c'est le nombre 6), donc $P(A \cap B) = \dfrac{1}{6}$.

Ainsi, $P(A\cup B) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{3}$.

 

Il était également possible de compter directement les issues appartenant à $A \cup B = \{2; 4; 5; 6\}$.

Ainsi, $P(A\cup B) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$