Probabilités, vocabulaire

Formules des probabilités

Formules des probabilités

 

Définition

 

Soient $A$ et $B$ deux événements de $Omega$, l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire.

La probabilité d’un événement $P(A)$ se calcule grâce au quotient suivant :

$P(A) = dfrac{text{nombre d’éléments de \} A}{text{nombre d’issues de \} Omega}$. 

En outre,  une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1 (le nombre d’issues de $A$ \ne peut être négatif et il \ne peut pas dépasser le nombre d’éléments de $Omega$). 

 

Propriétés

 

La probabilité de l’ensemble vide vaut 0 : $P(varnothing) = 0$.

La probabilité de $Omega$ vaut 1 : $P(Omega) = 1$. 

Par exemple, si on considère l’expérience du lancé de dé, l’univers $Omega$ est l’ensemble des entiers compris entre 1 et 6, donc

$P(Omega) = dfrac{text{nombre d’issues de \} A}{text{nombre d’issues de \} \Omega} = \dfrac{6}{6} = 1$. 

 

Événement contraire

 

La probabilité de l’événement contraire à $A$, noté $overline{A}$ et contenant toutes les issues n’appartenant pas à $A$, vaut

$P(overline{A}) = 1 – P(A)$. 

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Probabilité de la réunion de deux événements

 

Pour calculer la probabilité de la réunion de deux événements, il est possible de compter le nombre d’issues appartenant à la réunion mais il existe aussi une formule : 

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$. 

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Cette formule dit que la probabilité de la réunion est égale à la somme des probabilités des deux événements à laquelle on soustrait la probabilité de l’intersection car on avait compté deux fois les issues appartenant à la fois à $A$ et à la fois à $B$ (on les avait ajoutées lors du calcul de $P(A)$ puis on les avait ajoutées à nouveau pour le calcul de $P(B)$). 

 

Exemple : 

On lance un dé à 6 faces.

On considère les événements

$A = “text{obtenir un nombre pair}”$ 

$B = text{“obtenir un nombre plus grand que 5”}$. 

 

On cherche à calculer $P(Acup B)$ :

$P(Acup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$.

Or il y a trois nombres pairs possibles (2; 4; 6), donc $P(A) = \dfrac{3}{6} = dfrac{1}{2}$.

Et il y a deux nombres plus grands que 5 ainsi $P(B) = \dfrac{2}{6} = dfrac{1}{3}$.

Aussi, il existe un nombre pair et plus grand que 5 (c’est le nombre 6), donc $P(A \cap B) = dfrac{1}{6}$.

Ainsi, $P(Acup B) = dfrac{1}{2} + dfrac{1}{3} – dfrac{1}{6} = dfrac{2}{3}$.

 

Il était également possible de compter directement les issues appartenant à $A \cup B = {2; 4; 5; 6}$.

Ainsi, $P(Acup B) = \dfrac{4}{6} = dfrac{2}{3}$

Intersection et réunion d'événements

Intersection et réunion d’événements

 

Pour introduire la notion d’intersection et de réunion, on considère un exemple.

On lance deux dés et on s’intéresse à la somme des points obtenus. 

Les issues possibles, l’univers, sont $Omega = {2; 3; 4; 5; …; 12 }$. 

On définit l’événement $A$ qui est d’obtenir une somme paire :

$A = {2; 4; 6; 8; 10; 12 }$ et l’événement $B$ qui est d’obtenir une somme supérieure ou égale à 7 :

$B = {7; 8; 9; 10; 11; 12 }$.  

 

L’intersection

L’intersection de deux droites est le point appartenant à la fois à la droite $(d_1)$ et à la droite $(d_2)$. 

L’intersection de deux événements, notée $A \cap B$ ($A$ inter $B$), correspond donc à toutes les issues communes aux événements $A$ et $B$. 

Ici, $A \cap B = {8; 10; 12 }$. 

 

La réunion

La réunion de deux événements, notée $A \cup B$ ($A$ union $B$), correspond à toutes les issues appartenant à $A$ ou à $B$.

Il faudra cependant éviter d’écrire deux fois les issues appartenant aux deux événements. 

Ici, $A \cup B = {2; 4; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12 }$. 

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Vocabulaire des probabilités

Vocabulaire des probabilités

 

Afin d’introduire le vocabulaire lié aux probabilités, on considère l’exemple suivant :

On lance deux dés non truqués et on s’intéresse à la somme des points obtenus : il s’agit donc d’une expérience aléatoire dont on connait les résultats mais dont on ignore lequel se réalise. 

L’ensemble des résultats possibles, c’est à dire toutes les issues possibles, s’appelle l’univers et est noté $Omega$.

Ici, $Omega = {2; 3; 4; 5; …; 12}$, c’est à dire tous les entiers compris entre 2 et 12. 

 

Il est possible de définir un sous-ensemble de $Omega$, appelé événement, comme par exemple l’événement $A$ qui est d’obtenir une somme paire :

$A = {2; 4; 6; 8; 10; 12 }$ ou encore l’événement $B$ qui est d’obtenir une somme égale à 10 :

$B = \{10 }$. 

$B$ est un événement élémentaire, c’est à dire qui \ne contient qu’un seul résultat. 

 

Un événement certain est un événement qui se réalise forcément : par exemple l’événement $Omega$ est un événement certain : la somme est forcément comprise entre 2 et 12 quelque soit le résultat du lancé.

 

Un événement impossible est un événement qui \ne peut pas se réaliser,

l’événement $C = \{13 }$ est un événement impossible par exemple. 

 

L’événement contraire à un événement $D$ est l’ensemble des issues appartenant à $Omega$ mais qui n’appartiennent pas à $D$.

On note cet événement $overline{D}$, qu’on lit “$D$ barre”.

Par exemple $overline{A} = text{“obtenir une somme impaire”} = {3; 5; 7; 9; 11 }$.