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STAGE - VECTEURS, COORDONNÉES, COLINÉARITÉ

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Vecteurs colinéaires

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Vecteurs colinéaires

 

Définition 

 

Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs différents de $\overrightarrow{0}$,

$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires si et seulement si il existe un réel non nul $k$ tel que $\overrightarrow{u} = k \times \overrightarrow{v}$. 

 

Remarque

Deux droites peuvent être parallèles, les vecteurs eux peuvent être colinéaires. 

 

Exemples :

1)

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Dans ce cas, le lien unissant $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ est : $\overrightarrow{u} = - \overrightarrow{v}$, c'est à dire $k = -1$, ainsi $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires. 

2)

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Dans ce second exemple, on remarque que $\overrightarrow{v} = \dfrac{1}{2} \overrightarrow{w}$ : $k = \dfrac{1}{2}$, les deux vecteurs sont donc colinéaires. 

Pour déterminer la colinéarité de deux vecteurs, il est également possible d'utiliser les coordonnées de ces derniers si ils sont donnés ou calculables.

Par exemple, les vecteurs $\overrightarrow{u} \left ( \begin{array}{c} 3 \\ \dfrac{7}{2} \end{array} \right ) $ et $\overrightarrow{v} \left ( \begin{array}{c} \dfrac{-3}{4} \\ - \dfrac{7}{8} \end{array} \right ) $ sont-ils colinéaires ?

Pour que ces deux vecteurs soient colinéaires, il faut que leurs coordonnées soient proportionnels entre eux avec le même coefficient de proportionnalité.

On compare donc les rapports suivants  :

$\dfrac{\frac{-3}{4}}{3}$ et $\dfrac{-\frac{7}{8}}{\frac{7}{2}}$

c'est à dire le rapport de l'abscisse de$\overrightarrow{v}$ par celle de $\overrightarrow{u}$ puis le rapport de l'ordonnée de $\overrightarrow{v}$ par celle de $\overrightarrow{u}$.

Si le résultat est identique, les coordonnées sont proportionnelles et les vecteurs sont donc colinéaires. 

Ainsi :

$\dfrac{\frac{-3}{4}}{3} = \dfrac{-3}{4\times 3} = - \dfrac{1}{4}$.

De même,

$\dfrac{-\frac{7}{8}}{\frac{7}{2}} =- \dfrac{7}{8} \times \dfrac{2}{7} = - \dfrac{1}{4}$. 

Le résultat des deux calculs étant identique, on en déduit que $\overrightarrow{v} = - \dfrac{1}{4} \overrightarrow{u}$, les vecteurs sont colinéaires.

On pourra vérifier par exemple que l'abscisse de $\overrightarrow{v}$ est égale au produit de $\dfrac{-1}{4}$ et de celle de $\overrightarrow{u}$.