RELATION DE CHASLES

Somme de vecteurs, relation de Chasles

1) Préliminaires

Soient $A, B$ et $C$ trois points du plan,

$\overrightarrow{AA} = \overrightarrow{0}$, c'est à dire le vecteur nul. Il n'a pas de direction ni de sens et sa norme vaut 0.

Il faudra bien écrire une flèche sur ce vecteur pour le différencier du nombre 0.

$\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}$, lorsque l'on change de sens d'un vecteur, ce nouveau vecteur est l'opposé du vecteur initial. 

2) Représentation graphique 

a) Représentons le vecteur $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$. (en noir sur la figure)

On remarque que ses vecteurs sont déjà tracés. Pour effectuer la somme, on souhaite que la flèche du vecteur $\overrightarrow{u}$ coïncide avec le début du vecteur $\overrightarrow{v}$.

Il faut donc déplacer le vecteur $\overrightarrow{v}$. Or on sait que deux vecteurs sont égaux si ils forment un parallélogramme.

On reporte donc le vecteur $\overrightarrow{v}$ en gardant le même sens, la même direction et la même norme : bien que ces deux vecteurs ne soient pas représentés au même endroit, ils sont égaux. 

b) On souhaite à présent représenter le vecteur $2\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}$ ou encore $2\overrightarrow{u} + (-\overrightarrow{v})$.

On commence donc par tracer le vecteur $2\overrightarrow{u}$. Le vecteur $- \overrightarrow{v}$ est le vecteur de sens opposé à $ \overrightarrow{v}$.

On reporte donc le vecteur $- \overrightarrow{v}$ qui a la même norme que le vecteur $ \overrightarrow{v}$ représenté mais un sens opposé. On relie enfin le point de départ et le point d'arrivé.

3) Relation de Chasles

Enfin, on addition les vecteurs $\overrightarrow{AB} $ et $\overrightarrow{BC}$.

Graphiquement, on obtient le vecteur $\overrightarrow{AC}$ : c'est la relation de Chasles.

$\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$