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ANNALE - INTÉGRALES, LOI UNFORME

Exercice d'application


Annales

  • Annales : Intégrales, loi uniforme, algorithme

    L’objet du problème est l’étude des intégrales $I$ et $J$ définies par : $I =\displaystyle \int_0^1 \dfrac{1}{1+x}  dx$ et $J =\displaystyle \int_0^1 \dfrac{1}{1+x^2}  dx$

    Partie A : valeur exacte de l’intégrale $I$

    1. Donner une interprétation géométrique de l’intégrale $I$.

    2. Calculer la valeur exacte de $I$.

     

    Partie B : estimation de la valeur de $J$

    Soit $g$ la fonction définie sur l’intervalle $[0; 1]$ par $g (x) =\dfrac{1}{1+x^2} $.

    On note $C_g$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan. On a donc : $J =\displaystyle \int_0^1 g(x)dx $

    Le but de cette partie est d’évaluer l’intégrale $J$ à l’aide de la méthode probabiliste décrite ci-après.

    On choisit au hasard un point $M (x ; y)$ en tirant de façon indépendante ses coordonnées $x$ et $y$ au hasard selon la loi uniforme sur $[0; 1]$. On admet que la probabilité $p$ qu’un point tiré de cette manière soit situé sous la courbe $C_g$ est égale à l’intégrale $J$.

    En pratique, on initialise un compteur $c$ à $0$, on fixe un entier naturel $n$ et on répète $n$ fois le processus suivant :

    — on choisit au hasard et indépendamment deux nombres $x$ et $y$, selon la loi uniforme sur $[0; 1]$;

    — $si M (x ; y)$ est au-dessous de la courbe $C_g$ on incrémente le compteur $c$ de $1$. On admet que $f = \dfrac{c}{n}$ est une valeur approchée de $J$. C’est le principe de la méthode dite de MonteCarlo.

    La figure ci-dessous illustre la méthode présentée pour $n = 100$.

    $100$ points ont été placés aléatoirement dans le carré. Les disques noirs correspondent aux points sous la courbe, les disques blancs aux points au-dessus de la courbe. Le rapport du nombre de disques noirs par le nombre total de disques donne une estimation de l’aire sous la courbe.

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    1. Recopier et compléter l’algorithme ci-après pour qu’il affiche une valeur approchée de J.

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    2. Pour $n = 1000$, l’algorithme ci-dessus a donné pour résultat : $f = 0,781$. Donner un intervalle de confiance, au niveau de confiance de $95$ %, de la valeur exacte de $J$.

    3. Quelle doit-être, au minimum, la valeur de $n$ pour que l’intervalle de confiance, au niveau de confiance de $95$ %, ait une amplitude inférieure ou égale à $0,02$ ?

     

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