STAGE - INÉGALITÉ DE BIENAYMÉ-TCHEBYCHEV

Rappeler l'inégalité de Bienaymé Tchebychev. 

Une élection oppose deux candidats $A$ et $B$. On note $p$ la proportion inconnue de personnes décidée à voter pour le candidat $A$. On souhaite estimer cette proportion. On effectue pour cela un sondage, que l'on assimile à $n$ tirages avec remise. 
On note $X_i$ la variable aléatoire qui vaut $1$ si la $i$-ème personne vote pour le candidat $A$ et $0$ sinon.

On souhaite estimer $p$ avec la variable aléatoire $M_n = \dfrac{X_1 + X_2 + ... + X_n}{n}$. 

Donner l'espérance et la variance de $M_n$. 

Soit $\epsilon > 0$,
Majorer la probabilité suivante $P(|M_n - p|\geq \epsilon)$.

Soit $f$ la fonction défini sur un intervalle $D$ que l'on déterminera par $f(p) = p(1-p)$.
Etudier la fonction $f$.

En déduire une majoration de $P(|M_n - p|\geq \epsilon) $ indépendante de $p$.

En déduire un minorant de la probabilité $P(p \in ]M_n - \epsilon; M_n + \epsilon [)$. 

On dit que l'intervalle $I = ]M_n - \epsilon; M_n + \epsilon [$ est un intervalle de confiance pour $p$ au niveau $1 - \dfrac{1}{4n\epsilon^2}$.
Un sondage réalisé auprès de $1000$ personnes donne une fréquence observée de $0,53$. 
Déterminer epsilon pour que le niveau de confiance soit au moins égal à $95\%$. 

Peut-on affirmer la victoire du candidat $A$ avec une erreur inférieure $5\%$ ?