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STAGE - INÉGALITÉ DE BIENAYMÉ-TCHEBYCHEV

Exercice - Inégalité de Bienaymé Tchebychev



L'énoncé

Répondre aux questions suivantes 


  • Question 1

    Rappeler l'inégalité de Bienaymé Tchebychev. 

  • Question 2

    Une élection oppose deux candidats $A$ et $B$. On note $p$ la proportion inconnue de personnes décidée à voter pour le candidat $A$. On souhaite estimer cette proportion. On effectue pour cela un sondage, que l'on assimile à $n$ tirages avec remise. 
    On note $X_i$ la variable aléatoire qui vaut $1$ si la $i$-ème personne vote pour le candidat $A$ et $0$ sinon.

    On souhaite estimer $p$ avec la variable aléatoire $M_n = \dfrac{X_1 + X_2 + ... + X_n}{n}$. 

    Donner l'espérance et la variance de $M_n$. 

  • Question 3

    Soit $\epsilon > 0$,
    Majorer la probabilité suivante $P(|M_n - p|\geq \epsilon)$.

  • Question 4

    Soit $f$ la fonction défini sur un intervalle $D$ que l'on déterminera par $f(p) = p(1-p)$.
    Etudier la fonction $f$.

  • Question 5

    En déduire une majoration de $P(|M_n - p|\geq \epsilon) $ indépendante de $p$.

  • Question 6

    En déduire un minorant de la probabilité $P(p \in ]M_n - \epsilon; M_n + \epsilon [)$. 

  • Question 7

    On dit que l'intervalle $I = ]M_n - \epsilon; M_n + \epsilon [$ est un intervalle de confiance pour $p$ au niveau $1 - \dfrac{1}{4n\epsilon^2}$.
    Un sondage réalisé auprès de $1000$ personnes donne une fréquence observée de $0,53$. 
    Déterminer epsilon pour que le niveau de confiance soit au moins égal à $95\%$. 

  • Question 8

    Peut-on affirmer la victoire du candidat $A$ avec une erreur inférieure $5\%$ ? 

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