Terminale > Mathématiques > Concentration, loi des grands nombres > Stage - Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Répondre aux questions suivantes
Rappeler l'inégalité de Bienaymé Tchebychev.
Une élection oppose deux candidats $A$ et $B$. On note $p$ la proportion inconnue de personnes décidée à voter pour le candidat $A$. On souhaite estimer cette proportion. On effectue pour cela un sondage, que l'on assimile à $n$ tirages avec remise.
On note $X_i$ la variable aléatoire qui vaut $1$ si la $i$-ème personne vote pour le candidat $A$ et $0$ sinon.
On souhaite estimer $p$ avec la variable aléatoire $M_n = \dfrac{X_1 + X_2 + ... + X_n}{n}$.
Donner l'espérance et la variance de $M_n$.
Soit $\epsilon > 0$,
Majorer la probabilité suivante $P(|M_n - p|\geq \epsilon)$.
Soit $f$ la fonction défini sur un intervalle $D$ que l'on déterminera par $f(p) = p(1-p)$.
Etudier la fonction $f$.
En déduire une majoration de $P(|M_n - p|\geq \epsilon) $ indépendante de $p$.
En déduire un minorant de la probabilité $P(p \in ]M_n - \epsilon; M_n + \epsilon [)$.
On dit que l'intervalle $I = ]M_n - \epsilon; M_n + \epsilon [$ est un intervalle de confiance pour $p$ au niveau $1 - \dfrac{1}{4n\epsilon^2}$.
Un sondage réalisé auprès de $1000$ personnes donne une fréquence observée de $0,53$.
Déterminer epsilon pour que le niveau de confiance soit au moins égal à $95\%$.
Peut-on affirmer la victoire du candidat $A$ avec une erreur inférieure $5\%$ ?