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STAGE - INÉGALITÉ DE CONCENTRATION

Exercice - Inégalité de concentration



L'énoncé

Répondre aux questions suivantes


  • Question 1

    Rappeller l'inégalité de Bienaymé Tchebychev 

  • Question 2

    Soit $n \in \mathbb{N}$,
    On considère une suite $(X_n)$ de variables aléatoires, deux à deux indépendantes, de même loi, ayant pour espérance $\mu$ et pour variance $V$. 
    Calculer $\mathbb{E}(X_1 + X_2 + ... + X_n)$ et et $V(X_1 + X_2 + ... + X_n)$.

  • Question 3

    En déduire $\mathbb{E}(M_n)$ et $V(M_n)$, avec $M_n = \dfrac{X_1+X_2 + ... X_n}{n}$.

  • Question 4

    Appliquer l'inégalité de Bienaymé Tchebychev à la variable aléatoire $M_n$. Que vient-on de démontrer ? 

  • Question 5

    On lance un dé à 4 faces. On pose $X_i$ la variable aléatoire qui vaut $1$ si le dé tombe sur $2$ lors du lancer $i$ et $0$ sinon. 
    Calculer l'espérance et la variance de $X_i$.

  • Question 6

    Quel le nombre de lancers suffit-il de réaliser pour affirmer avec un risque d'erreur inférieur à 5% que la probabilité d'apparition du 2 est comprise entre 0,245 et 0,255 ?

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