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THÉORÈME DES GENDARMES

Exercice - Suites d'intégrales et théorème des gendarmes



L'énoncé

On désigne par \((I_n)\) la suite définie pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à $1$ par : \(I_n = \displaystyle\int^1_0 x^ne^{-x}dx\)


  • Question 1

    Dans cette question, toute trace de recherche ou dinitiative,même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.
    Sur le graphique ci-dessous, on a représenté les portions des courbes \(C_1\), \(C_2\), \(C_3\), \(C_{10}\), \(C_{20}\), \(C_{30}\) comprises dans la bande définie par \(0 \leq x \leq 1\).

    graphique représentatif des courbes énoncées ci-dessus
    Formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite \((I_n)\) en décrivant sa démarche.

  • Question 2

    Démontrer cette conjecture.

  • Question 3

    En déduire que la suite \((I_n)\) est convergente.

  • Question 4

    Déterminer \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} I_n\).

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