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STAGE - VARIANCE

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Variance de variables aléatoires

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Variance

 

Propriétés :

 

Soit X une variable aléatoire qui prend les valeurs $x_i$ de probabilité $p_i$ et Y une variable aléatoire qui prend les valeurs $y_i$ de probabilité $q_i$.

On a alors :

$V(X+Y)=V(X)+V(Y)$

$V(aX)=a^2V(X)$   avec  $a \in\mathbb R$

 

Rappel:

 

$V(X)= \sum p_i(x_i-E(X))^2$

 

Exemple: 

On place au hasard 2 billes jaunes et rouges dans 2 boites A et B.

Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de billes dans la boite A et Y donnant le nombre de boites vides.

Il y a donc 4 cas de figure possible : Les deux billes dans A, les deux billes dans B, ou la jaune dans A et la rouge dans B ou vice-versa.

On en déduit donc la loi de probabilité de la variable aléatoire X  et celle de Y :

 

X donne le nombre de billes dans A : X peut prendre les valeurs 0, 1 ou 2.

$x_i$ $0$ $1$ $2$
$p_i$ $\frac{1}{4}$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{4}$

Et par le calcul :

$E(X)=1$

$V(X)=\dfrac{1}{2}$

 

Y donne le nombre de boite vide : Y peut prendre les valeurs 0 ou 1.

$y_i$ $0$ $1$
$q_i$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$

$E(Y)=\dfrac{1}{2}$

$V(Y)=\sum q_i(y_i-E(Y))^2$

$V(Y)=\dfrac{1}{2}(0-\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{1}{2}(1-\dfrac{1}{2})^2$

$V(Y)=\dfrac{1}{4}$

 

Si maintenant on s’intéresse à la variable aléatoire X+Y, on peut directement appliquer $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$.

$V(X+Y)= V(X)+V(Y) $

$V(X+Y)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}$

$V(X+Y)=\dfrac{3}{4}$