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ÉTUDE DE LA CONVEXITÉ D'UNE FONCTION

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Convexité des fonctions de référence

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Convexité des fonctions de référence

 

Il s'agit d'apprendre parmi les fonctions usuelles lesquelles sont convexes et lesquelles sont concaves.

 

1) Fonctions convexes

 

Les fonctions $x \mapsto x^2$ et $x \mapsto e^x$ sont des fonctions convexes sur $\mathbb{R}$. 

 

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Fonction exponentielle :

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En effet, en reprenant la définition d'une fonction convexe, on peut vérifier que les courbes représentatives de ces deux fonctions sont au-dessus de chacune de leurs tangentes. 

 

2) Fonctions concaves

 

Les fonctions $x \mapsto \sqrt{x}$ et $x \mapsto \ln(x)$ sont des fonctions concaves sur $\mathbb{R}^+_*$. 

 

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La fonction racine carrée n'est pas dérivable en $0$, or la notion de convexité nécessite la dérivabilité de la fonction sur l'intervalle d'étude, donc la fonction racine carrée est uniquement concave sur $]0; +\infty [$.

On peut à nouveau vérifier graphiquement que les courbes sont en dessous de leurs tangentes.