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STAGE - FACTORISATION DE $A^N - B^N$ PAR $(A-B)$
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Factorisation de $a^n-b^n$ par $(a-b)$
Permalien3 éléments
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Factorisation de $a^n-b^n$ par $(a-b)$
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QCM - Factorisation de $a^n-b^n$
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Factorisation de $a^n-b^n$
Factorisation de $a^n-b^n$ par $(a-b)$
Propriété
Soit $(a,b)\in\mathbb{C^2}$ et $n\in\mathbb{N^*}$,
$a^n-b^n=(a-b)\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a^{n-k}\;b^{k-1}$
pour $n=2$ :
$(a-b)\displaystyle\sum_{k=1}^{2} a^{2-k}\;b^{k-1}=(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
pour $n=3$ :
$(a-b)\displaystyle\sum_{k=1}^{3} a^{3-k}\;b^{k-1}=(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$
pour $n=4$ :
$(a-b)\displaystyle\sum_{k=1}^{4} a^{4-k}\;b^{k-1}=(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)=a^4-b^4$
Démonstration
$(a-b)\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a^{n-k}\;b^{k-1} = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} a^{n-k+1}\;b^{k-1} - \displaystyle\sum_{k=1}^{n} a^{n-k}\;b^{k}$
$(a-b)\displays
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