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STAGE - RÉACTIONS NUCLÉAIRES ET RADIOACTIVITÉ

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Loi de décroissance radioactive

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Loi de décroissance radioactive

 

Un atome radioactif est un atome qui va se transformer spontanément en un autre atome en émettant des rayonnements.

 

I. Evolution d'un échantillon dans le temps

 

On considère un échantillon qui a un nombre de noyaux d’atomes radioactifs $N_0$. Voyons comment évolue cet échantillon dans le temps, c’est-à-dire, comment évolue le nombre de noyaux d’atomes radioactifs dans le temps ?

On a une formule qui est une équation différentielle du premier ordre et qui exprime la variation du nombre d’atomes radioactifs en fonction du temps.

On a alors : $\dfrac{dN(t)}{dt} = -\lambda N(t)$

$\lambda$ est une constante radioactive qui dépend du noyau d’atome considéré : Carbone 14, Uranium 238, etc.

Cette équation différentielle du premier ordre a une solution de la forme : $N(t) = Ke^{-\lambda t}$.

On doit connaître le type de solution associé à l’équation différentielle par cœur.

La constante $K$ est toujours déterminée par les conditions initiales. Cela revient à dire qu’à l’état initial, quand $t = 0$, on a : $N(0) = Ke^{-\lambda \times 0} = K = N_0$.

On trouve la loi de décroissance radioactive : $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$

avec $N_0$ le nombre de noyaux initial,

$\lambda$ la constante radioactive qui dépend du noyau,

et $t$ l’instant dans lequel on étudie le phénomène.

 

II. Expression graphique

 

Cette loi est bien connue car elle s’exprime graphiquement sous la forme d’une exponentielle décroissante avec le nombre de noyaux radioactifs en fonction du temps.

À partir de cette courbe, on peut déterminer la demi-vie, qui caractérise l’atome radioactif, et aussi l’expression de la demi-vie en fonction de la constante radioactive. Le temps de demi-vie est le temps qu’il faut pour que la moitié des atomes radioactifs initialement présents soient désintégrés.

 

decroissance-radio

 

Graphiquement, pour trouver le temps de demi-vie, on prend $N_0$, on divise par deux et on le reporte sur l’axe des ordonnées. On lit ensuite l’abscisse correspondante pour avoir le temps de demi-vie $t_{1/2}.$

Pour calculer le temps de demi-vie, on utilise la loi de décroissance radioactive et on dit qu’au temps de demi-vie : $N(t_{1/2}) = \dfrac{N_0}{2} N_0e^{-\lambda t_{1/2}}$

On peut simplifier les $N_0$ et on applique le logarithme népérien pour enlever l’exponentielle : $ln(\dfrac{1}{2}) = ln(e^{-\lambda t_{1/2}})$

Donc : $ln2 = -\lambda t_{1/2}$ et $t_{1/2} = \dfrac{ln2}{\lambda}$

Cela permet de connaître le temps de demi-vie d’un atome radioactif en connaissant sa constante radioactive.