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MOUVEMENT D'UN SATELLITE AUTOUR D'UNE PLANÈTE

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Mouvement d'un satellite autour d'une planète - Étape 3 : La vitesse du satellite

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Étape 3 : la vitesse du satellite

 

 

L’application de la seconde loi de Newton au satellite a permis de trouver la relation vectorielle suivante :

$\overrightarrow{a} = \dfrac{G M}{r^2} \overrightarrow{N}$ où $G$ est la constante universelle de gravitation, $M$ la masse de la planète, $r$ la distance séparant les centres du satellite et de la planète et $\overrightarrow{N}$ est un vecteur unitaire normal à la trajectoire.

 

En supposant le mouvement du satellite circulaire, on peut réécrire la formule du vecteur accélération : $\overrightarrow{a} = a_t \overrightarrow{T} + a_n \overrightarrow{N}$.

De plus, pour un mouvement circulaire, on dispose également de la relation suivante :

$\overrightarrow{a} = \dfrac{\text{d}v}{\text{dt}}\overrightarrow{T} + \dfrac{v^2}{r} \overrightarrow{N}$ où $v = \| \overrightarrow{v} \|$ et $\overrightarrow{v}$ est le vecteur vitesse du satellite.

 

En combinant les différents résultats, on obtient :

$ \dfrac{G M}{r^2} \overrightarrow{N} = \dfrac{\text{d}v}{\text{dt}}\overrightarrow{T} + \dfrac{v^2}{r} \overrightarrow{N}$.

Cela signifie dans un premier temps que, l’accélération étant uniquement portée par $\overrightarrow{N}$, le terme devant $\overrightarrow{T}$ est nul. En d’autres termes, cela signifie que $ \dfrac{\text{d}v}{\text{dt}} = 0$ ou encore que la vitesse du satellite est une constante : le mouvement du satellite est donc un mouvement circulaire uniforme.

Mais on peut aussi dans un second temps en déduire que $\dfrac{v^2}{r} = \dfrac{GM}{r^2}$ car ces deux termes sont tous deux portés par le vecteur normal $\overrightarrow{N}$. On en déduit finalement que $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$.