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CHUTE D'UN OBJET AVEC VITESSE

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Chute d'un objet avec vitesse - Étape 3 : Les coordonnées du vecteur position

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Étape 3 : Les coordonnées du vecteur position

 

En primitivant les coordonnées du vecteur accélération et à l’aide des conditions initiales, on a pu obtenir l’expression des coordonnées du vecteur vitesse $\overrightarrow{v} \left\{
\begin{array}{ccc}
v_x & = & v_0 \times \cos(\alpha) \\
v_y & = & -gt + v_0 \times \sin(\alpha) \\
\end{array}
\right.$

 

Afin de connaître le mouvement de la balle à chaque instant, il s’agit à présent de déterminer le vecteur position, relié au vecteur vitesse par la relation : $\overrightarrow{v} = \dfrac{\text{d}\overrightarrow{OG}}{\text{dt}}$ ou en d’autres termes le vecteur vitesse est la dérivée par rapport au temps du vecteur position.

 

Pour obtenir les coordonnées du vecteur position, il faut trouver des fonctions dont la dérivée est égale aux coordonnées du vecteur vitesse : ce sont les primitives des coordonnées du vecteur vitesse.

Ainsi, $\overrightarrow{OG} \left\{
\begin{array}{ccc}
x & = & v_0 \times \cos(\alpha)\times t + C_3 \\
y & = & -\dfrac{1}{2} \times gt^2 + v_0 \times \sin(\alpha) \times t + C_4 \\
\end{array}
\right.$

Il ne faut pas oublier d’ajouter une constante lorsque l’on primitive une fonction, que l’on détermine en utilisant les conditions initiales.

Or à $t = 0$, la balle est lancée depuis l’origine du repère, on a donc $\overrightarrow{OG} = \overrightarrow{0}$ et par identification, en remplaçant $t$ par 0 :

$\overrightarrow{OG} \left\{
\begin{array}{ccccccc}
x & = & v_0 \times \cos(\alpha)\times 0 + C_3 &=& C_3 &=& 0 \\
y & = & -\dfrac{1}{2} \times g \times 0^2 + v_0 \times \sin(\alpha) \times 0 + C_4 &=& C_4 &=& 0 \\
\end{array}
\right.$

 

Ainsi, on peut réécrire le vecteur position quelque soit l’instant :

$\overrightarrow{OG} \left\{
\begin{array}{ccc}
x & = & v_0 \times \cos(\alpha)\times t \\
y & = & -\dfrac{1}{2} \times gt^2 + v_0 \times \sin(\alpha) \times t \\
\end{array}
\right.$

 

Ce système d’équation est appelé les équations horaires de la balle.