Terminale > Physique-Chimie > Mouvement et interactions > Décrire un mouvement

DÉCRIRE UN MOUVEMENT

Accède gratuitement à cette vidéo pendant 7 jours

Profite de ce cours et de tout le programme de ta classe avec l'essai gratuit de 7 jours !

Démarrer l'essai gratuit

Vecteur position, vitesse et accélération

Permalien

Télécharger la fiche de cours Les téléchargements sont réservés uniquements aux abonnés

Ce sont trois vecteurs qui permettent de décrire un mouvement. En mécanique, le point $M$ va bouger et son mouvement va être décrit par ces trois vecteurs : accélération, position et vitesse. Leur utilisation sera décrite dans le cours sur la deuxième loi de Newton.

 

I. Vecteur position : $\overrightarrow{OM}$

 

Pour décrire une position dans l’espace, on utilise un repère. Ce repère est un repère à coordonnées cartésiennes $(O ; x ; y ; z).$

Ces trois axes doivent être orthonormés directs. Avec les trois doigts de la main gauche, on peut faire les axes $x, y$ et $z$. On place ensuite le point $M$ de coordonnées $(x ;y ;z).$ Il faut s’entraîner à savoir les tracer au brouillon rapidement. On trace la projection $H$ de $M$ sur le plan $(O ;x ;y ;z).$

Pour cela on descend sur la parallèle à l’axe $z$ partant du point $M.$ On va ensuite tracer du point $H$ une parallèle à l’axe $\overrightarrow{Oy}$ qui coupe l’axe $\overrightarrow{Ox}$. On a la coordonnée $x.$ On trace la parallèle à l’axe $\overrightarrow{Ox}$ qui coupe l’axe $\overrightarrow{Oy}$ en $y.$

Ensuite, on trace une parallèle à $(HO)$ à partir du point $M$ qui coupe l’axe $\overrightarrow{Oz}$. C’est la coordonnée $z.$ Mathématiquement, le vecteur $\overrightarrow{OM}$ peut aussi s’écrire $\overrightarrow{OM} = x\overrightarrow{u_x}+y\overrightarrow{u_y}+z\overrightarrow{u_z}$.

Les vecteurs dans l’expression sont des vecteurs unitaires qui caractérisent un déplacement de $x, y$ et $z$ quantités. On peut écrire les coordonnées du vecteur sous différentes formes.

referentiel3

 

II. Vecteur vitesse : $\overrightarrow{v}$

 

S’il n’y a pas de flèche sur le $v$ de la vitesse cela signifie qu’il s’agit de la norme de la vitesse et non du vecteur. On peut aussi y ajouter les barres de valeur absolue. Elle s’exprime en m/s (ou $m.s^{-1}$).

Le vecteur vitesse est la dérivée par rapport au temps du vecteur position : $\overrightarrow{v} = \dfrac{d\overrightarrow{OM}}{dt}$.

On va l’exprimer comme ceci : $\overrightarrow{v} = \dfrac{d}{dt}(x\overrightarrow{ux}+ y\overrightarrow{uy}+ z\overrightarrow{uz} = x\overrightarrow{ux}+ y\overrightarrow{uy}+ z\overrightarrow{uz} = \dfrac{dx}{dt}\overrightarrow{ux}+\dfrac{dy}{dt}\overrightarrow{uy}+\dfrac{dz}{dt}\overrightarrow{uz} = \overrightarrow{v_x}\overrightarrow{ux}+\overrightarrow{v_y}\overrightarrow{uy}+\overrightarrow{v_z}\overrightarrow{uz}$.

On a donc les dérivées qui correspondent aux vitesses en $x, y$ et $z.$ On peut aussi noter les dérivées avec la lettre et un point au-dessus. Si on mettait deux points au-dessus, cela voudrait dire qu’on dérive deux fois par rapport au temps.

Par exemple, on prend un vecteur $\overrightarrow{OM}$ de coordonnée (2t, 3t, h). On veut connaître la vitesse. La vitesse est la dérivée de la position donc le vecteur vitesse a pour coordonnées (2, 3, 0).

On peut aussi l’écrire comme ceci : $\overrightarrow{OM} = 2t\overrightarrow{u_x} + 3t\overrightarrow{u_y} + h\overrightarrow{u_z}$ et $\overrightarrow{v} = 2\overrightarrow{u_x} + 3\overrightarrow{u_y}$.

La norme du vecteur vitesse est : $v = \sqrt{v^2_x+v^2_y+v^2_z}$.

 

III. Vecteur accélération : $\overrightarrow{a}$

 

C’est la dérivée de la vitesse par rapport au temps. C’est aussi la dérivée de la dérivée de la position : $\overrightarrow{a} = \dfrac{d\overrightarrow{v}}{dt} = \dfrac{d}{dt} (\dfrac{d\overrightarrow{OM}}{dt}) = \dfrac{d^2\overrightarrow{OM}}{dt^2}$.

On a donc dérivé deux fois la position.

$\overrightarrow{a} = \dfrac{dvx}{dt}\overrightarrow{u_x} + \dfrac{dvy}{dt}\overrightarrow{u_y} + \dfrac{dvz}{dt}\overrightarrow{u_z}$.

Les dérivées correspondent au vecteur accélération en $x, y$ et $z. $

$\overrightarrow{a} = \dfrac{d^2x}{dt^2}\overrightarrow{u_x} + \dfrac{d^2y}{dt^2}\overrightarrow{u_y} +\dfrac{d^2z}{dt^2}\overrightarrow{u_z}$.

Dans les exercices, on donnera $x, y$ et $z.$

Par exemple, si $\overrightarrow{v} = 30\overrightarrow{u_x}$ (on peut l’écrire aussi avec la barre). On dérive la vitesse pour avoir l’accélération : $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{0} (m/s^2)$. Si on travaille avec l’écriture en barre, on aura zéro à chaque étage. Pour retrouver l’unité de l’accélération, on sait que c’est la dérivée de la vitesse en m/s sur un temps (s) donc l’accélération est en $m/s^2$ ou $m.s^{-2}$.