DÉCRIRE UN MOUVEMENT

Ce sont trois vecteurs qui permettent de décrire un mouvement. En mécanique, le point $M$ va bouger et son mouvement va être décrit par ces trois vecteurs : accélération, position et vitesse. Leur utilisation sera décrite dans le cours sur la deuxième loi de Newton.

I. Vecteur position : $\overrightarrow{OM}$

Pour décrire une position dans l’espace, on utilise un repère. Ce repère est un repère à coordonnées cartésiennes $(O ; x ; y ; z).$

Ces trois axes doivent être orthonormés directs. Avec les trois doigts de la main gauche, on peut faire les axes $x, y$ et $z$. On place ensuite le point $M$ de coordonnées $(x ;y ;z).$ Il faut s’entraîner à savoir les tracer au brouillon rapidement. On trace la projection $H$ de $M$ sur le plan $(O ;x ;y ;z).$

Pour cela on descend sur la parallèle à l’axe $z$ partant du point $M.$ On va ensuite tracer du point $H$ une parallèle à l’axe $\overrightarrow{Oy}$ qui coupe l’axe $\overrightarrow{Ox}$. On a la coordonnée $x.$ On trace la parallèle à l’axe $\overrightarrow{Ox}$ qui coupe l’axe $\overrightarrow{Oy}$ en $y.$

Ensuite, on trace une parallèle à $(HO)$ à partir du point $M$ qui coupe l’axe $\overrightarrow{Oz}$. C’est la coordonnée $z.$ Mathématiquement, le vecteur $\overrightarrow{OM}$ peut aussi s’écrire $\overrightarrow{OM} = x\overrightarrow{u_x}+y\overrightarrow{u_y}+z\overrightarrow{u_z}$.

Les vecteurs dans l’expression sont des vecteurs unitaires qui caractérisent un déplacement de $x, y$ et $z$ quantités. On peut écrire les coordonnées du vecteur sous différentes formes.

II. Vecteur vitesse : $\overrightarrow{v}$

S’il n’y a pas de flèche sur le $v$ de la vitesse cela signifie qu’il s’agit de la norme de la vitesse et non du vecteur. On peut aussi y ajouter les barres de valeur absolue. Elle s’exprime en m/s (ou $m.s^{-1}$).

Le vecteur vitesse est la dérivée par rapport au temps du vecteur position : $\overrightarrow{v} = \dfrac{d\overrightarrow{OM}}{dt}$.

On va l’exprimer comme ceci : $\overrightarrow{v} = \dfrac{d}{dt}(x\overrightarrow{ux}+ y\overrightarrow{uy}+ z\overrightarrow{uz} = x\overrightarrow{ux}+ y\overrightarrow{uy}+ z\overrightarrow{uz} = \dfrac{dx}{dt}\overrightarrow{ux}+\dfrac{dy}{dt}\overrightarrow{uy}+\dfrac{dz}{dt}\overrightarrow{uz} = \overrightarrow{v_x}\overrightarrow{ux}+\overrightarrow{v_y}\overrightarrow{uy}+\overrightarrow{v_z}\overrightarrow{uz}$.

On a donc les dérivées qui correspondent aux vitesses en $x, y$ et $z.$ On peut aussi noter les dérivées avec la lettre et un point au-dessus. Si on mettait deux points au-dessus, cela voudrait dire qu’on dérive deux fois par rapport au temps.

Par exemple, on prend un vecteur $\overrightarrow{OM}$ de coordonnée (2t, 3t, h). On veut connaître la vitesse. La vitesse est la dérivée de la position donc le vecteur vitesse a pour coordonnées (2, 3, 0).

On peut aussi l’écrire comme ceci : $\overrightarrow{OM} = 2t\overrightarrow{u_x} + 3t\overrightarrow{u_y} + h\overrightarrow{u_z}$ et $\overrightarrow{v} = 2\overrightarrow{u_x} + 3\overrightarrow{u_y}$.

La norme du vecteur vitesse est : $v = \sqrt{v^2_x+v^2_y+v^2_z}$.

III. Vecteur accélération : $\overrightarrow{a}$

C’est la dérivée de la vitesse par rapport au temps. C’est aussi la dérivée de la dérivée de la position : $\overrightarrow{a} = \dfrac{d\overrightarrow{v}}{dt} = \dfrac{d}{dt} (\dfrac{d\overrightarrow{OM}}{dt}) = \dfrac{d^2\overrightarrow{OM}}{dt^2}$.

On a donc dérivé deux fois la position.

$\overrightarrow{a} = \dfrac{dvx}{dt}\overrightarrow{u_x} + \dfrac{dvy}{dt}\overrightarrow{u_y} + \dfrac{dvz}{dt}\overrightarrow{u_z}$.

Les dérivées correspondent au vecteur accélération en $x, y$ et $z. $

$\overrightarrow{a} = \dfrac{d^2x}{dt^2}\overrightarrow{u_x} + \dfrac{d^2y}{dt^2}\overrightarrow{u_y} +\dfrac{d^2z}{dt^2}\overrightarrow{u_z}$.

Dans les exercices, on donnera $x, y$ et $z.$

Par exemple, si $\overrightarrow{v} = 30\overrightarrow{u_x}$ (on peut l’écrire aussi avec la barre). On dérive la vitesse pour avoir l’accélération : $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{0} (m/s^2)$. Si on travaille avec l’écriture en barre, on aura zéro à chaque étage. Pour retrouver l’unité de l’accélération, on sait que c’est la dérivée de la vitesse en m/s sur un temps (s) donc l’accélération est en $m/s^2$ ou $m.s^{-2}$.