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STAGE - MOUVEMENT DANS UN CHAMP DE PESANTEUR UNIFORME

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Mouvement dans un champ de pesanteur uniforme : équations horaires

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Mouvement dans un champ de pesanteur uniforme : équations horaires

 

Dans un champ de pesanteur uniforme, "uniforme" veut dire que l’on parle du même vecteur $\overrightarrow{g}$ en tout point de l’espace. Typiquement, si l’on se trouve non loin de la surface de la Terre, on considère que $\overrightarrow{g}$ est uniforme donc le champ de pesanteur l’est aussi.

 

I. Situation

 

Si l’on prend un repère $(O,x,y,z),$ il faut qu’il soit orthonormé direct, c’est-à-dire que $x, y$ et $z$ forme un trièdre. Le point au centre du cercle montre que le $z$ se dirige vers nous. Ensuite, nous retrouvons un point $M$ d’abscisse $0$ et d’ordonnée $h,$ ce qui veut dire que le mobile n’est pas tout à fait au niveau du sol au moment de sa situation initiale. Ce point $M$ aura aussi une vitesse initiale $v_0$ qui aura un angle $\alpha$ avec l’horizontale. Ceci est donc notre situation de départ.

On observe alors deux grandes situations :

- Si $v_0$ est égal au vecteur nul, cela veut dire qu’on lâche l’objet sans vitesse initiale. On appelle ça la chute libre. Le mouvement sera alors vertical.

- Si $v_0$ est différent du vecteur nul, cela veut dire que l’on donne une impulsion au départ à notre objet. On aura alors une trajectoire parabolique.

 

II. Les conditions initiales

 

Dans un exercice, il est intéressant de développer tout de suite les vecteurs (tel que $\overrightarrow{v}_0$ par exemple) en les projetant sur les différents axes au brouillon.

À quoi la vitesse initiale $ \overrightarrow{v}(t=0)$ (donc au temps 0) est-elle égale ? Pour répondre à cette question, nous allons nous aider d’un schéma.

equations-horaires

Dans ce repère, on reproduit donc le vecteur $\overrightarrow{v}_0$ en plaçant l’angle $\alpha$. Le reste n’est que de la trigonométrie. Pour avoir la projection horizontale on va utiliser cos. On obtiendra donc la longueur égale à $ v_0 \cos(\alpha)$. Et pour avoir la projection sur l’axe $y,$ cela sera égal à $ v_0 \sin(\alpha).$

Ainsi $ \overrightarrow{v}(t=0) =\begin{pmatrix} v_0 \cos(\alpha) \\ v_0 \sin(\alpha) \\ 0 \end{pmatrix} $

Sur l’axe des $z,$ il n’y a pas de vitesse initiale, c’est pourquoi $Uz$ est égal a $0.$

La position initiale est égale a : $\overrightarrow{OM}(t=0) = \begin{pmatrix} 0 \\ h \\ 0 \end{pmatrix}$

 

III. Calcul de la vitesse

 

Pour rappel, l’accélération est la dérivée de la vitesse par rapport au temps ( $\overrightarrow{a} = \dfrac{d \overrightarrow{v}}{d\overrightarrow{t}}$). La vitesse $\overrightarrow{v}$ est alors la primitive de l’accélération. Le système étudié ici est l’objet de masse $m. $ On suppose que l’on se trouve dans un référentiel galiléen, ce qui implique la deuxième loi de Newton :

$\sum \overrightarrow{F_{ext}} = m \times \overrightarrow{a} = m \overrightarrow{g} $ car la seule force ici est le poids $mg.$ On peut donc simplifier par $m$ et on se retrouve avec $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{g}.$

Si l’on projette l’accélération vectorielle sur les trois axes $x, y$ et $z,$ on se retrouve avec :

$\begin{pmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{pmatrix}$  

et pour $g$ : $ \begin{pmatrix} 0 \\ -g \\ 0 \end{pmatrix} $

On a donc $\begin{pmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -g \\ 0 \end{pmatrix} $ 

On sait que pour trouver la vitesse, il faut faire la primitive. On a donc :

$\begin{pmatrix} v_x = constante \\ v_y= -gt + constante' \\ v_z = constante'' \end{pmatrix}$

Pour trouver les constantes, il faut toujours partir des conditions initiales (CI). Ainsi on a :

$V_x(t=0) =  v_0 \cos(\alpha)$ = constante

$V_y(t=0) =  v_0 \sin(\alpha)$ = constante'

$V_z(t=0) = 0 = constante''$

Au final, on a donc $ \begin{pmatrix} v_x(t) = v_0 \cos(\alpha) \\ v_y(t) = -gt + v_0 \sin(\alpha) \\ v_z(t) = 0 \end{pmatrix}$

 

IV. Calcul de la position en fonction du temps

 

Pour rappel : $\overrightarrow{v} = \dfrac{d\overrightarrow{OM}}{dt},$ ainsi la position est la primitive de la vitesse. Nous avons aussi calculé la vitesse $\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} v_0\cos(\alpha) \\ -gt + v_0\sin(\alpha) \\ 0 \end{pmatrix} $

Il suffit de primitiver. On a alors :

$\overrightarrow{OM} = \begin{pmatrix} v_0\cos(\alpha) \times t + constante \\ - \dfrac{1}{2}gt^2 + v_0\sin(\alpha) \times t+ constante' \\ constante'' \end{pmatrix} $

Ne SURTOUT PAS oublier les constantes. Comme vu précédemment, nous allons encore une fois nous aider des conditions initiales :

$\overrightarrow{OM} (t=0) = \begin{pmatrix} 0 = constante   \\ h = constante' \\ 0 = constante'' \end{pmatrix} $

Si on remplace dans notre expression avec les nouvelles constantes trouvées, on a :

$\overrightarrow{OM} (t) = \begin{pmatrix} v_0\cos(\alpha) \times t \\ - \dfrac{1}{2}gt^2 + v_0\sin(\alpha) \times t+ h \\ 0 \end{pmatrix} $

 

Ainsi ce que nous venons de voir est bien l’accélération en fonction du temps, la vitesse en fonction du temps et la position en fonction du temps, d’où les équations horaires. La coordonnée sur l’axe $ z$ est égale à $0,$ d’où le fait qu'elle ne varie pas en fonction du temps. C’est un mouvement « plan », la coordonnée de la position ne varie que dans la direction de l’axe $x$ ou $y.$