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STAGE - MOUVEMENT DANS UN CHAMP DE PESANTEUR UNIFORME

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Mouvement dans un champ de pesanteur uniforme : étude de la trajectoire

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I. Equation de la trajectoire

 

trajectoire

Sur ce schéma, nous avons un point $M$ d’abscisse $0$ et d’altitude $h.$ L’axe $z$ n’est pas représenté car nous savons déjà que le point reste toujours dans la direction $z=0.$

Il y a deux situations :

- Si la vitesse initiale est différente de zéro, c'est un mouvement parabolique.

- Si la vitesse initiale est égale au vecteur nul, c'est une chute libre.

Pour rappel, ce qui a été vu dans les équations horaires : l’expression du vecteur position $ \overrightarrow{OM}(t) = \begin{bmatrix} v_0 \times \cos(\alpha)\times t \\ -\dfrac{1}{2}\times g \times t^2+ v_0 \times \sin(\alpha)\times t+h \end{bmatrix}$

Dans un premier temps, nous allons isoler le temps (t) grâce à l’équation 1. Ainsi on a :

$X(t) = v_0\times \cos(\alpha)\times t $ ->   $t =  \dfrac{x(t)}{ v_0\times \cos(\alpha) }$ 

Cela est vrai si $v_0$ est différent de zéro, sinon nous sommes dans une forme indéterminée (division par zéro).

 

Maintenant que nous avons l’expression de $t,$ nous « l’injectons » dans l’équation 2. Ainsi on a :

$Y(t) = -\dfrac{1}{2}\times g\times \dfrac{x}{ v_0\times \cos(\alpha) }^2+ v_0\times \sin(\alpha) \times \dfrac{x}{ v_0 \times \cos(\alpha)}+h $

On commence à voir se dessiner l’équation paramétrique. C’est-à-dire $y$ en fonction de $x,$ car la variable $t$ a disparue au profit de la variable $x.$

$Y(t) = -\dfrac{g}{2 v_0^2\times \cos^2(\alpha)}\times x^2+  \tan(\alpha)\times x+h $

Les $v_0$ se simplifient et sin/cos donne tangente. Tout cela n’est vrai que si $v_0$ est différents de zéro. Nous avons alors trouvé l’équation d’une parabole (de type $ax^2+bx+c$).

Que se passe-t-il si $v_0$ est égal à zéro ?

il faut revenir au moment où cela pose problème pour la première fois, c’est-à-dire au moment de l’équation $X(t) = v_0 \times \cos(\alpha)\times t $  -> $t = \dfrac{x(t)}{ v_0\times \cos(\alpha) }$

Ainsi si $v_0$ vaut zéro, $x(t) = 0$ (effectivement lors d’une chute verticale on reste toujours avec une abscisse égale à zéro).

Alors pour la deuxième équation, nous aurons $y(t) = -\dfrac{1}{2} \times g \times t^2 + h $

Nous retrouvons bien l’équation d’un objet qui chute verticalement.

 

II. La portée et la flèche

 

On retrouve souvent ce genre de question dans les exercices, par exemple calculer la portée d'un tir. C’est-à-dire la hauteur atteinte par un ballon qu’on a lancé. Dans chaque cas, il faut savoir quel est le point de départ pour pouvoir calculer.

 

Qu’est-ce que la portée ?

C’est la distance que l’objet a parcouru entre sa position de départ et sa position finale, c’est-à-dire quand il touche le sol. Ainsi l’objet est partit à une certaine abscisse et arrive à une certaine abscisse et la distance entre les deux abscisses est la portée.

Pour rechercher la portée : la condition est de se trouver au sol, c’est-à-dire que l’altitude vaut zéro. Soit $y(x) = 0.$

Il faudra par la suite résoudre cette équation. En la résolvant, nous allons trouver une expression de $x, $et celle-ci sera alors l’abscisse à laquelle l’objet a touché le sol. Ce sera donc la portée.

 

Qu’est-ce que la flèche ?

C’est la hauteur maximale que va atteindre le système mécanique.

Pour rechercher la flèche : comment savoir quelle est l’altitude maximale atteinte lors de la trajectoire parabolique ?

Au sommet nous somme au maximum de la fonction $y = f(x),$ et quand on atteint un maximum, sa dérivée est nulle.

Ainsi $\dfrac{dy}{dx} = 0 $

C’est cela que nous allons exploiter et qu’il faudra alors résoudre. Cela va nous donner une solution qui sera la réponse à la question « quelle est la flèche ? »

 

III. La norme de la vitesse

 

Pour rappel : $ \| vec v \| = \sqrt{V_x^2+V_y^2+v_z^2} $

$= (v_0^2 cos^2(\alpha) + g^2 t^2 + v_0^2 sin^2 (\alpha) - 2 g t v_0 sin(\alpha))^{\frac{1}{2}}$ or la somme de $cos^2 (\alpha) $ et $sin^2 (\alpha) $ donne $1$

$=[v_0^2 +gt (gt- 2v_0 sin(\alpha))]^{\frac{1}{2}}$

Cette expression sert notamment dans les exercices où l’on peut poser des questions comme l’énergie cinétique. Celle-ci est égale à ½ de la masse du système multipliée par la vitesse au carré. La vitesse dont on parle est la norme, ici ce serait donc celle calculée au-dessus.

 

Calcul de la portée

trajectoire2_1

Sur le schéma ci-dessus, on voit la trajectoire parabolique et l’équation de $y$ au point d’impact au niveau du sol ($y(x1) = 0$).

Ainsi on a :

$y(t) = -\dfrac{g}{2 v_0^2 \times \cos^2(\alpha)} \times x1^2+  \tan(\alpha) \times x1+h = 0$

C'est une équation du second degré.

On va d’abord calculer le discriminant :

$ \Delta = \tan^2(\alpha) + \dfrac{2g}{ v_0^2 \times \cos^2(\alpha)}*\times h$ $ (> \tan^2(\alpha)$

On additionne une tangente au carré et un nombre qui est toujours positif, d’où :

$x_{1,1} = \dfrac{-\tan(\alpha)-\sqrt{\Delta}}{\dfrac{-g}{ v_0^2 \times \cos^2(\alpha)}} =\dfrac{\tan(\alpha)+\sqrt{\Delta}}{g}\times v_0^2\times\cos^2(\alpha)$

$ x_{121} = \dfrac{-\tan(\alpha)+\sqrt{\Delta}}{\dfrac{-g}{ v_0^2 \times \cos^2(\alpha)}} =\dfrac{\tan(\alpha)-\sqrt{\Delta}}{g}\times v_0^2\times \cos^2(\alpha) $

Ici on se retrouverait avec $< 0,$ donc une abscisse dans les négatifs. Or ce n’est pas possible car nous sommes partis de l’abscisse zéro. On peut donc éliminer la deuxième solution.

Il ne nous reste alors plus que la première solution. Ainsi la portée sera égale à l’abscisse $x1,1$ : c'est-à-dire à la portée = $x1,1.$

 

Calcul de la flèche

trajectoire3

On veut savoir quelle est l’altitude maximale atteinte. Au point maximal, la dérivée $\dfrac{dy}{dx} = 0 $

Donc on résout $-\dfrac{g }{ v_0^2\times \cos^2(\alpha)}\times x1+ \tan(\alpha) = 0 $

D’où $x1 = \tan(\alpha)\times \dfrac{ v_0^2\times \cos^2(\alpha) }{g} $

Il faut alors trouver l’altitude, d’où la flèche $= y(x1),$ d’où :

$=-\dfrac{g }{ 2\times v_0^2\times \cos^2(\alpha)}\times \tan^2(\alpha)\times \dfrac{ v_0^4\times \cos^4(\alpha) }{ g^2} +\tan^2(\alpha) \times \dfrac{ v_0^2\times \cos^2(\alpha) }{ g}+h $

$= \dfrac{ v_0^2\times \sin^2(\alpha) }{g}\times (1- \dfrac{1}{2})+h$

$= \dfrac{ v_0^2\times \sin^2(\alpha) }{ 2g}+h$