Terminale > Physique-Chimie > Mouvement et interactions > Stage - Mouvement dans un champ de pesanteur uniforme

STAGE - MOUVEMENT DANS UN CHAMP DE PESANTEUR UNIFORME

Exercice - Les dominos



L'énoncé

On souhaite préparer le départ d’une bille pour un « dominos-cascade ». La bille lancée doit aller percuter le premier domino pour déclencher les chutes en cascade. Les dominos étant déjà tous installés, on ne peut pas faire d’essais : les conditions de lancer et la trajectoire doivent donc être calculées.

Le schéma ci-dessous (figure 1) décrit la situation. Attention, les échelles ne sont pas respectées.

On suppose dans l’ensemble de l’exercice que :
- le référentiel terrestre est galiléen le temps de l’expérience 
- la bille est assimilée à un point matériel 
- les frottements solides et fluides sont négligeables

On prendra $g = 9,8 \ N \cdot kg^{-1}$.

La masse de la bille est $m = 60 \ g$.

3769e39b5e0b45076ecb571d530d45fd52a4ce3e.png


  • Question 1

    Partie 1 - Equation de la trajectoire

    On suppose dans cette partie que la bille arrive en $O$ de coordonnées ($0 ; 0$) avec une vitesse $V_0 = V_0 i$ de direction horizontale. L’instant où la bille arrive en ce point sera pris comme origine des temps ($t = 0$).

    À quelle force est soumise la bille entre les points $O$ et $M$ exclus ?

    En appliquant la seconde loi de Newton à la bille lorsqu’elle a quitté le point $O$, établir la relation entre le vecteur accélération du centre d’inertie de la bille et le vecteur accélération de pesanteur $g$.

  • Question 2

    On montre que les coordonnées du vecteur vitesse du centre d’inertie de la bille dans le repère $\left( O, i, j \right)$ sont : $v_x(t) = v_0$ et $v_y(t) = – gt$.

    Montrer alors que l’équation de la trajectoire du centre d’inertie de la bille entre $O$ et $M$ est :

    $y(x) = \dfrac{-g x^2}{2v^2 _0}$

  • Question 3

    Calculer $v_0$ pour que le centre d’inertie de la bille arrive en $M$ dont les coordonnées dans le repère $\left( O, i, j \right)$ sont $x_M = 0,40 \ m$ et $y_M = – 0,20 \ m$.

  • Question 4

    Partie 2 - Solutions techniques pour que la bille arrive en $O$ avec la vitesse $V_0$

     

    Utilisation d’un plan incliné :

    Dans cette situation (illustrée par la figure 2 ci après), la bille est lâchée sans vitesse initiale d’un point $A$ (de coordonnées $x_A$ et $y_A$) situé en haut d’un plan incliné réglable très lisse sur lequel la bille glisse sans frottement.

    04db59ef01b695b1d594f946346aefbe18a108ed.png 

     

    Ensuite, la bille roule entre les points $B$ et $O$ : sur cette portion on considérera que la valeur de la vitesse du centre d’inertie de la bille reste constante ; ainsi on aura $v_B = v_0$.

    Sur la portion $AB$, on peut considérer que la bille est soumise à deux forces constantes : le poids et $P$ la réaction du plan incliné $R$. En un point quelconque du trajet $AB$, ces vecteurs forces sont représentés sur la figure 3 ci après (représentation sans considération d’échelle).

     e64c6fa953262d3df9e054a38d1c9b3103361dcb.png

      

    La force $R$ dont la direction est constamment perpendiculaire au trajet $AB$ n’effectue aucun travail. Ainsi, la seule force qui effectue un travail sur le trajet $AB$ est le poids $P$ qui est une force conservative : on peut donc affirmer que l’énergie mécanique du système {bille-Terre} se conserve entre $A$ et $B$.

    L’origine des énergies potentielles de pesanteur est prise au point $O$ d’altitude $y_0 = 0$. On a donc $E_p(O) = 0$.

     

    A) Établir l’expression de l’énergie mécanique $E_M(A)$ de la bille en $A$ en fonction de $y_A$.

    B) Établir l’expression de l’énergie mécanique $E_M(B)$ de la bille en $B$ en fonction de $v_B$.

    C) En déduire l’expression de $y_A$ en fonction de $v_0 = v_B$.

    D) Calculer $y_A$ pour que $v_0$ ait la valeur de $2,0 \ m \cdot s^{-1}$.

  • Question 5

    Utilisation d’un canon à bille :

    Si on ne dispose pas de la place nécessaire à l’installation du plan incliné précédent, on peut utiliser un petit canon à ressort de raideur $k = 50 \ N \cdot m^{-1}$ (voir figure 4 ci après).

    Le ressort au repos a son extrémité en $O$ de coordonnées ($0, 0$). L’opérateur le comprime en exerçant une force notée $F_{op}$ jusqu’à ce que son extrémité soit en $C$ de coordonnées ($x_C, 0$).

    On pose alors la bille au contact du ressort. On admet que l’abscisse de la bille (assimilée à un point matériel) est confondue avec l’abscisse de l’extrémité du ressort est repérée par $x$. Lorsqu’on lâche le tout, la bille acquiert de la vitesse. Un système de blocage limite la détente complète en arrêtant le ressort au point $O$ (de coordonnées $0 ; 0$).

     0e5ec52a38a4d7d74d33b9f6b726c2e5e7164dc8.png

     

    A) Donner l’expression vectorielle de la force de rappel notée $F$ exercée par le ressort.

    B) Au cours de la compression du ressort, la force exercée par l’opérateur et notée $F_{op}$ est à chaque instant opposée à la force de rappel du ressort $F$. En déduire l’expression vectorielle de la force $F_{op}$.

    C) Montrer que le travail de la force entre les points $O$ et $C$ a pour expression :

    $W_{OC} (F_{op}) = \dfrac{1}{3} k \cdot x^2_C$

    D) Le travail de $F_{op}$ a uniquement contribué à augmenter l’énergie potentielle élastique du ressort. Si on considère que, après avoir été relâché, celui-ci la restitue entièrement à la bille sous forme d’énergie cinétique, exprimer $x_C$ en fonction de $v_0$, $m$ et $k$.

    E) Application numérique : calculer la coordonnée $x_C$ dans le repère $(O, i, j)$ pour que $v_0$ ait la valeur $2,0 \ m \cdot s^{-1}$.

La correction et les astuces de cet exercice t'intéressent ?

Accède librement à l'ensemble des contenus, aux astuces et aux corrections des exercices en t'abonnant sur Les Bons Profs. Clique ici pour démarrer l'abonnement.