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RELATION DE BERNOULLI, EFFET VENTURI

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Relation de Bernoulli

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I. Ligne de courant

 

La ligne de courant est la trajectoire d’une particule de fluide. Le fluide est décrit comme un ensemble de particules de fluide.

Si on suit la trajectoire d’une particule dans le fluide, cela donne la trajectoire du courant. Cela va demander un effort d’intuition pour la deviner. Les bords noirs représentent une canalisation (petite au début et grande à la fin). Pour les particules de fluide, elles partent du milieu de la canalisation plus étroite, pour arriver au milieu de la canalisation plus large. De même, pour les autres particules, placées à différents endroits. Le tracé reste à intuitif puisqu’il est fait à main levée.

 

II. Relation de Bernoulli

 

C’est une égalité qui va relier les caractéristiques de deux points d’une ligne de courant.

 

 

Voici un tuyau avec un point $A$ au début de la ligne de courant et un point $B$ en haut de la ligne. $A$ est à une altitude $z_A$ et $B$ à une altitude $z_B.$

La relation est la suivante : $p_A + \rho g z_A + \dfrac{1}{2}\rho v_A^2 + p_B + \rho g z_B + \dfrac{1}{2}\rho v_B^2$.

$p$ correspond à la pression en $A$ ou en $B$ (Pa), $\rho$ est la masse volumique du fluide ($kg.m^{-3}$), $g$ à l’intensité de pesanteur (m.s-2), $z$ à l’altitude du point $A$ ou $B$, $v$ à la vitesse du fluide au point d’intérêt $A$ ou $B$ (m.s-1).

Remarque : Lorsqu’un fluide est en contact avec l’air libre à pression $p0,$ le fluide est à la pression de l’air libre $p0.$

 

III. Application

 

On imagine un récipient avec un petit trou au fond (un point $B$). Le liquide va sortir par ce trou et le niveau du liquide va baisser. On doit calculer la vitesse à laquelle le liquide sort du point $B$. On a une hauteur $H$ d’eau et une section $S$ en surface et s au niveau du trou.

On a une ligne de courant et deux points $A$ et $B$. On connaît la pression en $A.$ On utilise alors la formule précédente : $p_A + \rho g z_A + \dfrac{1}{2}\rho v_A^2 + p_B + \rho g z_B + \dfrac{1}{2}\rho v_B^2$.

$A$ et $B$ sont tous les deux en contact avec l’air libre : $A$ car il est en surface et $B$ car l’eau s’écoule dans l’air : $pA = pB = p0.$

Il y a conservation du débit d’un fluide incompressible en régime permanent : $v_A \times S = v_B \times s$.

On veut trouver $v_A$ : $v_A = v_B \times \dfrac{s}{S}$.

On subsitue $v_A$ par cette expression dans la formule de départ, d’où : $\rho gH +\dfrac{1}{2} \rho v_B^2 (\dfrac{s}{S})^2 = \dfrac{1}{2} \rho v_B^2$.

On a alors : $v_B = \sqrt{\dfrac{2gHS^2}{S^2-s^2}}$