Cours Croissances comparées
Théorème des croissances comparées
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Fiche de cours

Théoréme des croissances comparées

 

Pour $n$ appartenant à $\mathbb{N}$ :


1. $\displaystyle \lim \limits_{\substack{x \to 0\\ x > 0}} x \ln x = 0$    et    $\displaystyle \lim \limits_{\substack{x \to 0\\ x > 0}} x^n \ln x = 0.$

2. $\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\ln x}{x}=0$    et    $\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\ln x}{x^n}=0.$

 

Exemple

Calculer $\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} x^3-\ln x$.

 

étape 1 : On repére une forme indéterminée du type $\infty-\infty$ et on factorise par $x^3$.

$\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} x^3-\ln x=\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} x^3( 1- \dfrac{\ln x}{x^3}) $

étape 2 : On utilise le théoréme des croissances comparées pour lever l'indétermination.

On sait que: $\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\ln x}{x^3}= 0$.

Ainsi, le terme dans la parenthése tend vers $1$ et par produit de limites, on obtient :

$\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} x^3( 1- \dfrac{\ln x}{x^3})=+\infty$

 

Nombre dérivé en 1

A savoir : $\displaystyle\lim_

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