Logarithme népérien, propriétés algébriques

Définition du logarithme népérien

Définition du logarithme népérien

 

Définition

 

La fonction logarithme népérien est l’unique fonction $f$, définie et dérivable sur $]0; +\infty[$ qui vérifie $\begin{array}{l} f(1) = 0 \\ f'(x) = \dfrac{1}{x} \end{array}$

On remarquera ici que l’on définit la fonction $f$ à partir de sa dérivée.

En outre, on peut noter que l’on ne connaissait jusqu’à présent pas de fonction dont la dérivée valait $\dfrac{1}{x}$.

En supposant que le cours portant sur les intégrales a déjà été étudié, on peut alors définir la fonction logarithme népérien, que l’on note $\ln$ comme étant la primitive de $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ sur $]0; +\infty[$ et qui s’annule en $1$.

Ainsi, pour tout réel $x > 0$,
$\ln x = \displaystyle \int_1^x \dfrac{1}{t} dt$

On notera que lorsque $x = 1$, $\ln 1 = \displaystyle \int_1^1 \dfrac{1}{t} dt = 0$.

Graphiquement, la fonction $\ln x$ correspond à l’aire sous la courbe de la fonction inverse, comprise entre les droites verticales d’abscisse $1$ et $x$.

 

Propriétés algébriques

La fonction logarithme népérien

 

Définition

 

La fonction logarithme népérien est la fonction \(f\) définie et dérivable sur \(]0;+\infty[\) tel que

\(f(1)=0\) et \(f'(x)=\dfrac{1}{x}\)

\(\ln\) est la primitive de \(x\mapsto\dfrac{1}{x}\) sur \(]0;+\infty[\) qui s’annule en 1.

 

Propriétés algébriques

Pour tous réels $x>0$ et $y>0$ :

$\ln (xy)= \ln x+\ln y$

$\displaystyle \ln ( \displaystyle\frac{1}{x}) = -\ln x$

$\displaystyle \ln ( \displaystyle\frac{x}{y}) = \ln x-\ln y$

$\displaystyle \ln ( x^n) = n \ln x$ avec n $\epsilon$ $\mathbb{Z}$

Exemple :

Réduire : $A=\ln8-3\ln16$  et  $B$= $\displaystyle \frac{4\ln9+5\ln27}{\ln3}$.

étape 1: On réécrit l’expression $A$ pour faire apparaître $\ln 2$.

$A=\ln 2^3-3\ln 2^4$

étape 2 : On utilise les propriétés algébriques du logarithme népérien pour simplifier l’expression :

$\displaystyle \ln (x^n)=n\ln x$ avec $\displaystyle n \in \mathbb{Z}$.

$A=3\ln 2-12\ln 2$

$A=-9\ln 2$

étape 3: On réécrit l’expression $B$ pour faire apparaître $\ln 3$.

$B$= $\displaystyle \frac{4\ln 3^2+5\ln 3^3}{\ln 3}$

étape 4 : On utilise les propriétés algébriques du logarithme népérien pour simplifier l’expression :

$\displaystyle \ln (x^n)=n\ln x$ avec $\displaystyle n \in \mathbb{Z}$.

$B$= $\displaystyle \frac{8\ln 3+15\ln 3}{\ln 3}$

On factorise par $\ln 3$ pour finir le calcul.

$B$= $\displaystyle \frac{23\ln 3}{\ln 3}$

$B$= 23

 

Autre exemple :

Simplifier : $C$= $\displaystyle \ln (x+3)+\ln 2-2\ln (x+1)$ en précisant l’intervalle d’étude.

étape 1 : On précise l’ensemble de définition de l’expression.

$x$ doit vérifier $x+3>0$ et $x+1>0$, c’est-à-dire :

$x>-3$ et $x>-1$.

La condition finale est donc: $x>-1$.

étape 2 : On utilise les propriétés algébriques du logarithme népérien pour simplifier l’expression :

  • $ \ln (xy)=\ln x+\ln y$,
  • $\ln (\displaystyle\frac{x}{y})=\ln x-\ln y$
  • $\ln (x^n)=n\ln x$ avec $n \in \mathbb{Z}$

Ainsi,

$C$= $\displaystyle \ln (2x+6)-\ln (x+1)^2$

$C$= $\displaystyle \ln {\frac{2x+6}{(x+1)^2}}$

Propriétés algébriques - Exercice 1

Réduire \( A = ln8 – 3ln16\) et \(B = \frac{4ln9 + 5 ln27}{ln3}\).

Étape 1 : On réécrit l’expression pour faire apparaître \(ln 2\).
Étape 2 : On utilise les propriétés algébriques du logarithme népérien pour simplifier l’expression : \(ln (x^n) = n ln x \text{ avec } n \in \mathbb{R}\)
Étape 3 : On réécrit l’expression pour faire apparaître \(ln 3\).
Étape 4 : On utilise les propriétés algébriques du logarithme népérien pour simplifier l’expression : \(ln (x^n) = n ln x \text{ avec } n \in \mathbb{R}\)
Étape 5 : On factorise par \(ln 3\) pour finir le calcul.

Propriétés algébriques - Exercice 2

Simplifier \(C = ln(x + 3) + ln 2 – 2 ln (x + 1)\).

Étape 1 : On précise l’ensemble de définition de la fonction.
Étape 2 : On utilise les propriétés algébriques du logarithme népérien pour simplifier l’expression : \(ln(xy) = lnx + lny\), \(ln (\frac{x}{y}) = ln x – ln y\) et \(ln (x^n) = n ln x \text{ avec } n \in \mathbb{R}\)

Dérivée de la fonction Ln. Démonstration

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