Cours La quatrième proportionnelle
Exercice

L'énoncé

Une enseignante emmène ses élèves au cinéma. Pour cette sortie scolaire, il y a $27$ collégiens qui ont tous moins de $16$ ans, deux assistants d'éducation qui ont entre $20$ et $25$ ans, deux parents d'élèves et l'enseignante, ces derniers ayant plus de $25$ ans. Le gérant du cinéma a perdu sa grille des tarifs et n'a plus que les prix des carnets de $10$ places. Cela donne le tableau suivant pour les tarifs en fonction de l'âge.

Âge Mineurs : $-$ de $18$ ans Jeunes adultes : $18 - 25$ ans Plein tarif : $+$ de $25$ ans
Prix du carnet de $10$ tickets $40 €$ $60 €$ $90 €$

Le but de cet exercice est de retrouver le prix d'une place de cinéma à l'unité pour chaque groupe d'âge puis de trouver combien devra payer l'enseignante pour cette sortie scolaire.

 


Question 1

Donner le prix d'une place à l'unité pour chaque groupe d'âge, dans un tableau de proportionnalité.

  Mineurs Jeunes adultes Plein tarif
Carnet de $10$ $40 €$ $60 €$ $90 €$
Ticket à l'unité $4 €$ $6 €$ $9 €$

Voici la solution, sous forme de tableau.

Il faut diviser tous les différents tarifs par $10$.

Question 2

Utiliser le coefficient de proportionnalité pour déterminer combien paieront en tout les $27$ élèves mineurs. Autrement dit, à partir du coefficient de proportionnalité, trouver la quatrième proportionnelle pour le tableau suivant :

 

$40$ $X$
$10$ $27$

Il faut trouver le nombre manquant dans le tableau suivant :

$40$ $X$
$10$ $27$

Le nombre $x$ vaut :

$x=\dfrac{40\times 27}{10}$

$x=108$

Ou encore :

Le coefficient de proportionnalité du tableau ci-dessus est $40 \div 10 = 4$. Donc le nombre manquant est $X = 27 \times 4 = 108$. En tout, le cinéma coûtera $108 €$ pour les $27$ élèves mineurs.

Question 3

En utilisant la méthode de multiplication par un nombre non-nul, trouver le prix que paieront les deux assistants d'éducation. Autrement dit, par multiplication sur la première ligne du tableau, trouver la quatrième proportionnelle dans le tableau suivant :

$10$ $2$
$60$ $X$

Le nombre $x$ vaut :

$x=\dfrac{2\times 60}{10}$

$x=12$

On commence par chercher l'opération qui permet de passer de la première à la deuxième colonne - pour la première ligne -, autrement dit pour passer de $10$ à $2$.

Ici, on trouve que $10 = 2 \times 5$. Donc $2 = 10 \div 5$.

Donc pour trouver la quatrième proportionnelle, il faut diviser $60$ par $5$, qui est bien non-nul. $60 \div 5 = 12$ donc les deux assistants d'éducation paieront en tout $12 €$.

Question 4

En utilisant le produit en croix, trouver le prix payé par les deux parents d'élèves et l'enseignante - prix total pour trois adultes en plein tarif. Autrement dit, trouver la quatrième proportionnelle du tableau suivant :

$10$ $3$
$90$ $X$

Le nombre $x$ vaut :

$x=\dfrac{90\times 3}{10}$

$x=27$

 

Donc les trois accompagnateurs paieront en tout $27 €$

La méthode du produit en croix est la suivante.

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \iff a \times d = b \times c$

Question 5

Combien auraient payé les élèves s'ils avaient été $13$ ?

Les élèves auraient payé $4 \times 13 = 52€$.

Tu as trouvé le prix individuel d'une place dans la première question !