Cours Annale - Suite et récurrence (moyen)
Convergence des suites
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Fiche de cours

Convergence des suites

 

Définitions

 

On dit qu'une suite $(u_n)$ à valeurs réelles est majorée par $M$ si, et seulement si pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n\leqslant M$.

On dit qu'une suite $(u_n)$ à valeurs réelles est minorée par $m$ si, et seulement si pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n\geqslant m$.

 

Théorème de la limite monotone

 

$\bullet$ Toute suite à valeurs réelles croissante et majorée par $M$ est convergente vers $\ell$ avec $\ell \leqslant M$.

$\bullet$ Toute suite à valeurs réelles décroissante et minorée par $m$ est convergente vers $\ell$ avec $\ell \geqslant m$.

Remarque : Le minorant (ou majorant) n'est pas nécessairement la limite de la suite!


Exemple :

On considère la suite $(u_n)$ définie par récurrence de la manière suivante : 

$u_0=0$ et $u_{n+1}=\sqrt{3u_n+4}$

1) Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n\leqslant 4$.

2) Démontrer que $(u_n)$ est une suite croissante.

3) La suite $(u_n)$ est-elle convergente?

 

Correction

1) On note $\mathcal{P}(n)$ la propriété " $u_n\leqslant 4$ " et on va démontrer par récurrence que $\mathcal{P}(n)

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