Le symbole sigma

Le symbole Sigma $LargeSigma$ permet de désigner la somme d’une famille finie de termes. 

 

Par exemple $ sumlimits_{k = p}^q U_k=U_p + U_{p + 1} + … + U_q$.

En effet, ici on souhaite calculer la somme des $U_k$ où $k$ est l’indice de sommation, pour $k$ variant de $p$ à $q$, avec $p, q \in mathbb{N}$ et $p \leq q$.

 

Considérons un exemple concret : $ sumlimits_{i = 1}^5 3^i$ qui se lit somme de $3^i$ pour $i$ variant de 1 à 5

$ sumlimits_{i = 1}^5 3^i=3^1 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + 3^5$.

$ sumlimits_{i = 1}^5 3^i=3+9+27+81+243=363$

 

On remarquera que l’indice de sommation est muet, il n’intervient pas dans le résultat final : on peut donc prendre la lettre que l’on souhaite ($k, i, …$). 

Ainsi, $ sumlimits_{i = 1}^5 3^i= sumlimits_{k = 1}^5 3^k=  sumlimits_{j = 1}^5 3^j$

 

Autre exemple :

$ sumlimits_{i = 0}^3 2i-1= (2times 0 -1)+(2times 1 -1)+(2times 2 -1)+(2times 3 -1)$

$ sumlimits_{i = 0}^3 2i-1=-1+1+3+5=8$

Le symbole sigma - Exercices 1 et 2

Exercice 1 :

Calculer (displaystylesum_{k=-5}^{-2} 4k).

  • Étape 1 : On explicite chaque terme de la somme.
  • Étape 2 : On simplifie et on calcule la somme.

Exercice 2 :

Calculer (displaystylesum_{k=1}^7 (-1)^{k+1}).

  • Étape 1 : De la même manière, on explicite chaque terme de la suite.
  • Étape 2 : On simplifie et on calcule la somme.

Le symbole sigma - Exercices 3 et 4

Exercice 3 :

Exprimer avec le symbole (sum) l’expression

(U_2 + U_4 + … + U_50).

  • Étape 1 : On cherche à trouver les bornes de variation de l’indice (k) et la façon d’exprimer la suite.
  • Étape 2 : Pour retrouver tous les rangs pairs, on exprime la suite sous la forme (2k).
  • Étape 3 : On définit les bornes de la somme pour que la suite commence à (U_2) et termine à (U_50).

Exercice 4 : Exprimer avec le symbole (sum) l’expression (1 – 3 + 9 – 27 + 81 – … – 2187).

  • Étape 1 : On reconnaît une suite de puissance de 3.
  • Étape 2 : Pour correspondre à la somme proposée, on utilisera les puissances de (-3).
  • Étape 3 : On définit les bornes de la somme pour qu’elle commence à 1 (ou ((-3)^0)) et termine à -2187 (ou ((-3)^7)).