Annale – Arithmétique, algorithme, calcul numérique et littéral, fonctions, équations

Opérations sur les fractions

Opérations sur les fractions

 

1) Somme ou différence de deux fractions

 

Pour additionner ou soustraire deux nombres en écriture fractionnaire, il faut qu’ils aient le même dénominateur.

On réduit donc les nombres au même dénominateur. 

 

Exemples :

On souhaite calculer $dfrac{2}{5} + dfrac{1}{9}$. 

On \ne peut pas additionner directement les deux nombres, on réduit donc ces fractions au même dénominateur. 

Pour cela, on multiplie la première en haut et en bas par le dénominateur de la seconde et inversement.

Ainsi, 

$dfrac{2 \times 9}{5 \times 9} + \dfrac{1 \times 5}{9 \times 5} = \dfrac{18}{45} + dfrac{5}{45}$

$dfrac{2 \times 9}{5 \times 9} + \dfrac{1 \times 5}{9 \times 5}= dfrac{23}{45}$. 

 

On souhaite à présent calculer $dfrac{3}{14} – dfrac{1}{7}$.

Si on suivait la méthode précédente, on devrait multiplier la première fraction en haut et en bas par $7$ et la seconde en haut et en bas par $14$, mais cela compliquerait grandement les calculs.

Le bon point de vue ici consiste à remarquer que $14 = 7 \times 2$; autrement dit, en multipliant la deuxième fraction en haut et en bas par $2$, on obtiendrait deux nombres fractionnaires ayant le même dénominateur ! 

Ainsi,

$dfrac{3}{14} – \dfrac{1}{7} = \dfrac{3}{14} – \dfrac{1 \times 2}{7 \times 2}$

$dfrac{3}{14} – dfrac{1}{7}= \dfrac{3}{14} – \dfrac{2}{14} = dfrac{1}{14}$. 

 

2) Produit de fractions

 

Multiplier deux fractions revient à effectuer le quotient du produit des numérateurs par le produit des dénominateurs. 

 

Exemples :

$dfrac{3}{2} \times \dfrac{5}{4} = \dfrac{3  times 5}{2 \times 4} = dfrac{15}{8}$. 

$dfrac{8}{3} \times dfrac{7}{4}$.

Avant de se lancer dans les calculs, il est bon de regarder si on \ne peut pas simplifier.

On peut en effet remarquer que $8 = 4 \times 2$. 

Dès lors, 

$dfrac{8}{3} \times \dfrac{7}{4} = dfrac{4times 2 \times 7}{3 \times 4} = dfrac{2times 7}{3} = dfrac{14}{3}$. 

 

3) Quotients de fractions

 

Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.

 

Exemples :

$dfrac{4}{5} \div \dfrac{11}{6} = \dfrac{4}{5} \times dfrac{6}{11}$

$dfrac{4}{5} \div dfrac{11}{6}= dfrac{24}{55}$.

L'équation produit

L’équation produit

 

Définition

Une équation produit est une équation de la forme $a \times b = 0$ : un produit égal à $0$.

 

Propriété

Or un produit est nul lorsque, au moins, un de ses facteurs est nul.

Ainsi soit $a = 0$ soit $b = 0$ soit $a = b = 0$.  

 

Exemple : $(x + 1)(2x – 3) = 0$.

Il s’agit bien d’un produit, dont le premier facteur est $(x + 1)$ et le deuxième $(2x – 3)$. 

Or un produit est nul lorsque, au moins, un de ses facteurs est nul.

Cela signifie que $x + 1 = 0$ ou $2x – 3 = 0$.

 

Il faut donc résoudre deux équations.

Ainsi $x = – 1$ ou $2x = 3$ (en ajoutant 3 des deux côtés de l’égalité).

Donc $x = -1$ ou $x = dfrac{3}{2}$ (en divisant par 2 des deux côtés de l’égalité).

 

Les solutions de cette équation sont donc $-1$ et $dfrac{3}{2}$.  

Double distributivité

Double distributivité

 

La formule de la double distributivité est la suivante :

$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$

 

Exemples : 

a) Développer $(x + 2)(3x + 4)$. 

On applique la formule avec $a = x, b = 2, c = 3x$ et $d = 4$. 

Ainsi,

$(x + 2)(3x + 4) = x \times 3x + x \times 4 + 2 \times 3x + 2 \times 4 $

$(x + 2)(3x + 4) = 3x^2 + 4x + 6x + 8$

La dernière étape du calcul consiste à regarder si il est possible d’effectuer une réduction, en regroupant les termes semblables.

Finalement, 

$(x + 2)(3x + 4) = 3x^2 + 10x + 8$. 

 

b) Développer $(5x – 7)(6 – 2x)$. 

L’astuce consiste à réécrire, lorsque l’on débute, le produit sous la forme

$(5x – 7)(6 – 2x) = (5x + (- 7))(6 +  (- 2x))$.

Ainsi, on applique la formule avec $a = 5x, b = -7, c = 6$ et $d = -2x$. 

On trouve alors que :

$(5x – 7)(6 – 2x) =(5x + (- 7))(6 +  (- 2x))$

$(5x – 7)(6 – 2x) = 30x – 10x^2 + – 42 + 14x$

$(5x – 7)(6 – 2x) = -10x^2 + 44x – 42$

 

c) Développer $(1 + y)(2y – 3)$

$(1 + y)(2y – 3) = 2y – 3 + 2y^2 -3y $

$(1 + y)(2y – 3) = 2y^2 – y -3$. 

Factoriser avec un facteur commun

Factoriser avec un facteur commun

 

Propriété

 

Pour tous nombres $a, b$ et $k$, on a :

$ktimes a + ktimes b = k(a + b) $

On passe d’une somme à un produit : c’est la factorisation. 

Pour factoriser une expression, il faut faire apparaître le facteur commun aux deux termes de la somme.

 

Exemples :

 

 

  •  Factoriser $6x + 12$

On remarque que $12 = 6 \times 2$, $6$ est donc le facteur commun. Ainsi,

$6x + 12 = 6times x + 6 \times 2 $

$6x + 12 = 6(x + 2)$.

En développant cette expression, on retrouve l’expression initiale.

 

  •  Factoriser $21 – 7x$.

On remarque que $21$ est un multiple de $7$, donc $7$ est le facteur commun.

$21 – 7x = 7 \times 3 – 7 \times x $

$21 – 7x = 7 ( 3 -x )$. 

 

  •  Factoriser $3 + 3x$.

Le facteur commun est $3$. Il faut cependant faire apparaitre dans chacun des termes un produit faisant intervenir $3$.

On se rappelle alors que $3 = 3 \times 1$.  Ainsi,

$3 + 3x = 3times 1 + 3 \times x

$3 + 3x= 3 (1 + x)$

 

  • Factoriser $(3x+4)(x+2)+(x+2)(5x-2)$

Le facteur commun est ici $(x+2)$. Ainsi : 

$(3x+4)(x+2)+(x+2)(5x-2)= (x+2)[(3x+4)+(5x-2)]$

$(3x+4)(x+2)+(x+2)(5x-2)=(x+2)(3x+4+5x-2)$

$(3x+4)(x+2)+(x+2)(5x-2)=(x+2)(8x+2)$

Variables