Annale – Pythagore, Thalès, trigonométrie, transformations du plan

Théorème de Thalès

Théorème de Thalès

 

Il existe deux situations où l’on peut appliquer le théorème de Thalès qui sont représentées par le schémas ci-dessous. 

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Deux droites doivent donc être sécantes et sont coupées par deux droites parallèles. 

 

Théorème 

 

Si $O, A, M$ alignés

    $O, B, P$ alignés

    $(AB) // (MP)$

Alors

$dfrac{OA}{OM} = \dfrac{OB}{OP} = dfrac{AB}{MP}$.

 

Le point $O$ est appelé le point charnière

Ce théorème permet d’obtenir des quotients de longueurs, permettant ainsi de trouver des d’autres longueurs.

 

Exemple :

Les points $R, S, U$ sont alignés ainsi que les points $T, R, V$.

Les droites $(ST)$ et $(VU)$ sont parallèles.

Donnons une valeur approchée de $RV$ à $10^{-2}$.

 

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D’après le théorème de Thalès,

$dfrac{RU}{RS} = \dfrac{RV}{RT} = dfrac{VU}{ST}$.

$dfrac{64}{12} = dfrac{RV}{10}$

$12 \times RV = 10 \times 64$

$RV = \dfrac{640}{12} \approx 53,33$

Trigonométrie

Trigonométrie

 

La trigonométrie permet de mettre en relation des longueurs et des angles dans un triangle rectangle.

 

Vocabulaire

L’hypoténuse correspond au plus grand côté, en face de l’angle droit.

Le côté touchant l’angle $widehat{B}$ autre que l’hypoténuse est appelé le côté adjacent.

Le côté en face de l’angle $widehat{B}$ est appelé le côté opposé.

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On définit ainsi le cosinus, le sinus et la tangente de l’angle $widehat{B}$ par :

$cos widehat{B} = dfrac{text{côté adjacent}}{text{hypoténuse}}$

$sin \widehat{B} = dfrac{text{côté opposé}}{text{hypoténuse}}$

$tan widehat{B} = dfrac{text{côté opposé}}{text{côté adjacent}}$

 

Un moyen mnémotechnique pour se souvenir de ses définitions est :

CAH-SOH-TOA :

Cosinus =  Adjacent divisé par l’Hypoténuse,

Sinus = Opposé divisé par l’Hypoténuse,

Tangente = Opposé divisé par Adjacent

 

Propriétés

Le cosinus et le sinus d’un angle sont reliés par la relation suivant : $(cos widehat{B})^2 + (sin widehat{B})^2 = 1$

Enfin, la tangente d’un angle peut être définie à partir du sinus et du cosinus de l’angle : 

$tan widehat{B} = dfrac{sin widehat{B}}{cos widehat{B}}$

 

Exemple : 

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On cherche la valeur de l’angle $widehat{M}$.

Il s’agit donc de déterminer si il faut utiliser le cosinus, le sinus ou la tangente.

Ici, l’hypoténuse est donné ainsi que le côté adjacent : on utilise donc le cosinus. 

Ainsi, $cos widehat{M} = dfrac{MO}{MP}$

$cos widehat{M} = dfrac{6}{11}approx 0,545$

Donc en utilisant la calculatrice pour déterminer l’angle en connaissant la valeur de son cosinus on trouve $widehat{M} \approx 56,9°$

Théorème de Pythagore

Théorème de Pythagore

 

Propriété

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Si $ABC$ est un triangle rectangle en $A$, alors ${AB}^2 + {AC}^2 = {BC}^2$

Ou encore :

la somme des carrés des deux petits côtés est égale au carré de l’hypoténuse

Cette relation permet, en connaissant la longueur de deux côtés, de trouver la longueur du dernier côté. 

 

Exemple :

Soit $OMP$ un triangle rectangle en $O$, tel que $OM = 5 $ et $MP = 13$.

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D’après le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle $OMP$ rectangle en $O$,

${OM}^2 + {OP}^2 = {MP}^2$ 

$5^2 + {OP}^2 = {13}^2$

$25 + {OP}^2 = 169$

${OP}^2 = 169 – 25$

${OP}^2 = 144$

$OP = sqrt{144}$

$OP = 12$