Annale – Arithmétique et matrices

Divisibilité et division euclidienne

Divisibilité et division euclidienne

 

Divisibilité dans $mathbb{Z}$

 

Définition

Soient $a$ et $b$, deux entiers relatifs, avec $b$ non nul.

On dit que $b$ divise $a$ si et seulement si il existe un entier relatif $k$ tel que $a=kb$.

On note $b|a$.

 

Propriétés

Pour $a$ non nul, $a|a$.

Pour $a$, $b$ et $c$ non nuls, si $a|b$ et $b|c$ alors $a|c$.

 

Exemple

Montrer que $N=a(a^2-1)$ est divisible par 6 lorsque $a in mathbb{N}$.

 

étape 1 : $N$ est divisible par 6 si et seulement si il est divisible par 2 et par 3.

étape 2 : On réécrit $N$ grâce à une identité remarquable pour faire apparaître un produit de trois nombres consécutifs.

$N=a(a^2-1)$

$N=a(a-1)(a+1)$

$N=(a-1)a(a+1)$

étape 3 : Si $a$ est pair, on remplace $a$ par $2k$ ($k in mathbb{N}$).

$N=(2k-1)2k(2k+1)$

étape 4 : $N$ s’écrit sous la forme d’un produit d’un entier et de 2, donc $N$ est pair.

étape 5 : Si $a$ est impair, on remplace $a$ par $2k+1$.

$N=(2k+1)2k(2k+2)$

On arrive à la mÍme conclusion et $N$ est donc divisible par 2 dans tous les cas ($a$ pair ou impair).

étape 6 : Si $a$ est multiple de 3, alors $a=3k$. On remplace $a$ par $3k$.

$N=(3k-1)3k(3k+1)$ On en conclut que $N$ est multiple de 3.

étape 7 : On répËte la mÍme opération avec $a=3k+1$ puis avec $a=3k+2$.

Dans ces deux cas, on verra apparaître un multiple de 3. On en conclut que $N$ est divisible par 3.

$N$ est divisible par 2 et 3 donc $N$ est divisble par 6.

 

Division euclidienne dans $mathbb{Z}$

 

Définition

Soient $a$ et $b$, deux entiers naturels et $b$ non nul.

Effectuer la division euclidienne de $a$ par $b$ revient à déterminer l’unique couple $(q;r)$ d’entiers naturels tels que :

$a=bq+r$ avec $0leqslant r<b$.

On nomme $q$ le quotient et $r$ le reste.

Exemple

Déterminer le quotient $q$ et le reste $r$ de la division euclidienne de 753 par 82.

 

On a : $753=82times 9+15$.

On obtient donc : $q=9$ et $r=15$. On vérifie que 15 est strictement inférieur à 82

 

Les nombres premiers

Les nombres premiers

 

Définition

Soit $n$ un nombre entier supérieur ou égal à 2.

$n$ est premier si et seulement si $n$ admet deux diviseurs : 1 et lui-même.

 

Théorème

Tout $nin mathbb{N}$ avec $ngeq 2$ admet au moins un diviseur premier.

Si $n$ n’est pas premier et $ngeq 2$ alors il admet un diviseur premier compris entre 2 et $sqrt{n}$

 

Décomposition en facteurs premiers

 

Théorème

Tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2 se décompose en produit de nombres premiers.

Cette décomposition est unique à l’ordre près des facteurs.

$;n=p_1^{alpha_1}times p_2^{alpha_2}times ……… p_r^{alpha_r};$   

Avec  ${p_i}, {i in {1;r}}$ sont des nombres premiers distincts et $alpha_i, {i in {1;r}}$ des entiers.

 

Exemple

On décompose 96 en produit de facteurs premiers :

étape 1 : On cherche à diviser 96 par un nombre premier.

étape 2 : On commence par le plus simple, à savoir 2.

étape 3 : On continue tant qu’on peut diviser par 2 ou par les entiers premiers suivants.

étape 4 : On s’arrête lorsque le reste vaut 1.

étape 5 : On peut donc réécrire 96 comme une décomposition de facteurs premiers :

$96=2^5 times 3$

Matrice et système linéaire

Matrices et systèmes d’équations linéaires

 

Définition

On considère le système d’équations suivant :

$left { begin{array}{rccc}x+y+2z & = &9  \ x-y+z&=&2 \ 2x+y-z & = & 1   \ end{array} right.$ 

Pour le résoudre, on peut utiliser les matrices :

$A =begin{pmatrix}
1 & 1&2 \
1 & -1&1\
2 & 1&-1\
end{pmatrix}$   ;  $X =begin{pmatrix}
x \
y\
z\
end{pmatrix} $   et

  $B =begin{pmatrix}
9\
2\
1\
end{pmatrix}.  $ 

Le système se traduit alors par :  $AX=B$.

 

Propriété

 

Si $AX=B$ et $A$ inversible alors

$X=A^{-1} times B$.

Etape 1 : Au Bac, la matrice inverse $A^{-1}$ est donnée dans l’énoncé.

Etape 2 : On effectue le produit $X=A^{-1} times B$.

Le calcul nous permet de conclure que :

$X =begin{pmatrix}
1 \
2\
3\
end{pmatrix} $.

La solution du système est donc le triplet $(1;2;3)$.

 

Exemple avec un système linéaire d’équations d’ordre 2.

Résoudre le système d’équations suivant :

$left { begin{array}{rccc}2x-y & = &-8   \3x+y& = &-7   \ end{array} right.$ 

On peut le traduire par  $AX=B$ avec : 

$A =begin{pmatrix}
2 & -1 \
3 & 1\
end{pmatrix}$   ;   $X =begin{pmatrix}
x \
y\
end{pmatrix} $    et   

$B =begin{pmatrix}
-8 \
-7\
end{pmatrix}$.

En considérant $A =begin{pmatrix}
2 & -1 \
3 & 1\
end{pmatrix}$, on vérifie que :

$ad-bc =5 neq 0$.

On peut alors calculer :

$A^{-1} =  displaystylefrac{1}{5}begin{pmatrix}
1 & 1 \
-3 & 2\
end{pmatrix}$   

$iff$   $A^{-1} = begin{pmatrix}
dfrac{1}{5} & dfrac{1}{5} \
-dfrac{3}{5} & dfrac{2}{5}\
end{pmatrix}$.

On a donc :

$X=A^{-1}B=begin{pmatrix}
dfrac{1}{5} & dfrac{1}{5} \
-dfrac{3}{5} & dfrac{2}{5}\
end{pmatrix} times begin{pmatrix}
-8 \
-7\
end{pmatrix}= begin{pmatrix}
-dfrac{15}{5} \
dfrac{10}{5}\
end{pmatrix}$.

$X=begin{pmatrix}
-3 \
2\
end{pmatrix}$.

La solution du système est le couple $(-3;2)$