Annale – Cubes et tétraèdres

Espace, droites et plans

Espace, droites et plans

 

Définitions

Une droite de l’espace peut être définie par :

  • deux points ou
  • un point et un vecteur directeur.

droites-espace

 

 

Un plan peut être défini par :

  • trois points non alignés

plan-espace-trois-points

  • Une droite et un point extérieur à la droite

plan-espace-droite-point

  • Deux vecteurs non colinéaires et un point

plan-espace-deux-vecteurs

 

 

Repères et coordonnées

 

Définition

On appelle repère de l’espace tout quadruplet $(O; overrightarrow{i};overrightarrow{j}; overrightarrow{k}) $ constitué d’un point $O$ de l’espace et de trois vecteurs non coplanaires.

On note $(Ox)$ l’axe dirigé par $overrightarrow{i}$, $(Oy)$ l’axe dirigé par $overrightarrow{j}$ et $(Oz)$ l’axe dirigé par $overrightarrow{k}$.

Lorsque les droites $(Ox)$, $(Oy)$ et $(Oz)$ sont perpendiculaires deux à deux, le repère est dit orthogonal.

Si de plus $||overrightarrow{imath}||=||overrightarrow{jmath}||=||overrightarrow{k}||=1$, le repère est dit orthonormal.

 

Théorème

Soit $(O; overrightarrow{i};overrightarrow{j}; overrightarrow{k}) $ un repère de l’espace. 

Pour tout point $M$ de l’espace, il existe un unique triplet $(x ; y ; z)$ tels que

$overrightarrow{OM}=xoverrightarrow{i}+yoverrightarrow{j}+zoverrightarrow{k}$.

On dit alors que le point $M$ a pour coordonnées $(x ; y ; z)$ et on note $M(x;y;z)$.

 

Équation cartésienne d'un plan

Equation cartésienne d’un plan

 

Définition

 

Soient $a,b,c$ et $d$ quatre réels avec $a,b$ et $c$ tous nuls.

$mathcal{P} :ax+by+cz+d=0$ est l’équation cartésienne d’un plan de l’espace.

 

Propriété

 

Tout plan $mathcal{P}$ d’équation $ax+by+cz+d=0$ admet un vecteur normal non nul $overrightarrow{n}(a;b;c)$.

La réciproque est vraie.

equation-cartesienne-plan

 

Exemples

1) Déterminer l’équation cartésienne du plan $mathcal{P}$ passant par $A(4;0;-1)$ et normal à $overrightarrow{n}(2;-1;3)$.

2) Soit $mathcal{P}: 2x-4y+6z-9=0$.

Déterminer un vecteur $overrightarrow{n}$ normal à $mathcal{P}$ et un point $A$ du plan

 

Correction

  • 1) Etape 1 : On définit l’équation cartésienne du plan à partir des coordonnées du vecteur $overrightarrow{n}$.

On a: $mathcal{P} : 2x-y+3z+d=0$.

  • Etape 2 : On sait que $A \in \mathcal{P} $, on remplace $x, y$ et $z$ par les coordonnées du point $A$ appartenant au plan.

$2(4)-0+3(-1)+d=0$

  • Etape 3 : On en déduit la valeur de $d$ et ainsi l’équation cartésienne du plan $mathcal{P}$.

$d=-5$

On conclut que: $mathcal{P} :2x-y+3z-5=0$.

 

  • 2) Etape 1 : On définit un vecteur $overrightarrow{n}$ normal à $mathcal{P}$ à partir des coefficients de $x,y$ et $z$ de l’équation cartésienne.

$overrightarrow{n}(2;-4;6)$ ou encore $overrightarrow{n’}(1;-2;3)$ sont deux vecteurs normaux.

  • Etape 2 : On fixe deux des trois inconnues afin de calculer les coordonnées pour que le point $A$ appartienne au plan.

On pose : $x=1$ et $y=2$ , avec $A \in \mathcal{P} $, on remplace : $2-8+6z-9=0$. $z=dfrac{15}{6}=dfrac{5}{2}$

On a alors : $Aleft(1;2;dfrac{5}{2}right)$