Annale – Exponentielle, intégrale et algorithme

Fonctions composées - exp(u(x))

Fonctions composées

Soit $u(x)$ une fonction continue et dérivable sur $mathbb{R}$, la fonction $f(x)=e^{u(x)}$ a pour dérivée

$f'(x)=u'(x)e^{u(x)}$.

Exemple

Soit $g$ la fonction définie et dérivable sur $mathbb{R}$ par :

$g(x)=e^{(-3x^2+x)}$.

Déterminons sa dérivée.

On pose : $u(x)= -3x^2+x$.

On a donc : $u'(x)=-6x+1$.

On a : $g'(x)= u'(x)e^{u(x)}$.

Soit : $g'(x)=(-6x+1)e^{(-3x^2+x)}$.

 

Autre exemple

Etudier les variations de la fonction $f(x)$= $displaystyle frac{3e^x}{e^{2x}+1}$.

 

étape 1 : On cherche toujours l’ensemble de définition d’une fonction.

$Df= \mathbb{R} $ car $e^{2x}$ \ne peut être égal à $-1$, c’est toujours positif.

 

étape 2 : On cherche les limites aux bornes de l’ensemble de définition : en $+infty$ et en $-infty$.

On factorise par $e^x$ et on simplifie pour lever l’indétermination.

$displaystyle \lim limits_{x \rightarrow +infty}f(x)=lim limits_{x \rightarrow +infty}frac{e^xtimes 3}{e^{x}(e^{x}+displaystylefrac{1}{e^{x}})}=lim limits_{x \rightarrow +infty}frac{3}{e^{x}+displaystylefrac{1}{e^{x}}}=0$ car

$displaystyle \lim limits_{x \rightarrow +infty}e^x+frac{1}{e^x}=+infty$

$displaystyle \lim limits_{x \rightarrow -infty}f(x)=lim limits_{x \rightarrow -infty}frac{3}{e^{x}+displaystylefrac{1}{e^{x}}}=0$ car

$displaystyle \lim limits_{x \rightarrow -infty}e^x+frac{1}{e^x}=+infty$

 

étape 3 : On dérive $f$ comme quotient de fonctions dérivables sur $mathbb{R}$.

On utilise la formule suivante :

$displaystyle (frac{u}{v})’=frac{u’v-uv’}{v^2}$.

$displaystyle u(x)=3e^x, u'(x)=3e^x hspace{0.2cm} \text{et} hspace{0.2cm} v(x)=e^{2x}+1, v'(x)= 2e^{2x}$

$displaystyle f'(x)= frac{3e^x (e^{2x}+1)-3e^x (2e^{2x})}{(e^{2x}+1)^2}$

$displaystyle f'(x)= frac{3e^x (1-e^{2x})}{(e^{2x}+1)^2}$

On remarque que $(1-e^{2x})$ est une égalité remarquable égale à $(1-e^x)(1+e^x)$.

Le signe de $f'(x)$ est du signe de $(1-e^x)(1+e^x)$ donc de $(1-e^x)$.

On a : 

$(1-e^x)geq 0 \iff 1geq e^x iff  0geq x$

On en déduit le tableau de variations : 

--29 

--30

 

Définition de l'intégrale - Exercice

Calculons (I = int_{1}^4 x dx = int_{1}^4 t dt).

Étape 1 : On repère l’aire recherchée.
Étape 2 : On remarque qu’il s’agit d’un trapèze rectangle.
Étape 3 : La formule du calcul d’aire du trapèze rectangle est connue. On peut l’utiliser pour calculer l’intégrale :
( A = frac{(B + b) \times h}{2}).

Opérations sur les primitives

Opérations élémentaires sur les primitives

 

Propriétés

 

Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ réel.

Fonction Une primitive Conditions
$u’+v’$ $u+v$  
$ku’$ (avec $k$ constante) $ku$  
$u’u^n$ avec $n$ appartient à $mathbb{Z}$ et différent de $-1$ $dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ $u$ différent de $0$ sur $I$  si $uleq 0$
$dfrac{u’}{sqrt u}$ 2$sqrt u$ $u>0$ sur $I$
$dfrac{v’}{v^2}$ $-dfrac{1}{v}$ $vneq 0$ sur $I$
$u’e^{u}$ $e^{u}$  
$dfrac{u’}{u}$

$ln(u)$

$ln(-u)$

$u>0$ sur $I$

$u<0$ sur $I$

$u'(v’circ u)$ $vcirc u$  

 

 

Exemples

1. Chercher une primitive sur (mathbb{R}) de : $ f(x) = x e^{x^2+ 1}$

2. Chercher une primitive sur (mathbb{R}) de : $ g(x) = \dfrac{6x + 3}{x^2 + x + 1}$.

 

Correction

1. $ f(x) = x e^{x^2+ 1}$

Etape 1 : On cherche les expressions de (u) et (u’) pour arriver à la forme (u’ e^u).

(u (x) = x^2+ 1 ) et (u'(x)= 2x )

Etape 2 : On multiplie par $2$ et par $dfrac{1}{2}$ pour faire apparaître le “$2$” manquant.

$ f(x)=dfrac{1}{2} \times 2x e^{x^2+ 1} $

$ f(x)=dfrac{1}{2} u'(x) e^u(x) $

Etape 3 : On définit une primitive grâce au cours.

$ F(x)= \dfrac{1}{2} e^{x^2+ 1}$

 

2.$ g(x) = \dfrac{6x + 3}{x^2 + x + 1}$

Etape 1 : On note (u(x)= x^2 + x + 1 ) et (u'(x)=2x+1). On factorise par $3$ le numérateur pour faire apparaître (u'(x)).

On a : $ g(x) = dfrac{3(2x + 1)}{x^2 + x + 1}$.

Soit : $ g(x) = dfrac{3u'(x)}{u(x)}$.

Etape 2 : On remarque que $x^2+x+1>0$ sur $mathbb{R}$ et on définit une primitive de $g$ grâce au cours.

$ G(x) = 3ln (x^2 + x + 1)+ c$

Calculs d'intégrales

Calculs d’intégrales

 

Propriété

 

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$.

Soit $F$, une primitive de (f) sur $I$.

Pour tous réels $a$ et $b$ de l’intervalle $I$, on a :

$displaystyleint_{a}^b  f(t) dt= F(b)- F(a) $   que l’on note aussi

 $displaystyleint_{a}^b  f(t) dt=left[F(t)right]_{a}^b$

Exemples

Calculer :

$I$=(displaystyleint_{1}^2 dfrac{x^2+3x+1}{x^2}dx).

$J$=(displaystyle int_{0}^1 x(2x^2-1)^3 dx).

 

Correction

Calcul de $I$

Étape 1 : La fonction $f(x)= dfrac{x^2+3x+1}{x^2}$ est définie et continue sur $[1;2]$.

On décompose l’expression en trois fractions de dénominateur commun.

$I$=(displaystyleint_{1}^2 (dfrac{x^2}{x^2}+dfrac{3x}{x^2}+dfrac{1}{x^2})dx)

$I$=(displaystyleint_{1}^2 (1+dfrac{3}{x}+dfrac{1}{x^2})dx)

$I$=(displaystyleint_{1}^2 dx+ int_{1}^2dfrac{3}{x}dx+ int_{1}^2dfrac{1}{x^2}dx)

Étape 2 : On peut définir des primitives de chaque expression.

$I$= (displaystyle left[x+3ln x-dfrac{1}{x}right]_{1}^2)

Étape 3 : On calcule $F(2)-F(1)$.

$I$= (displaystyle (2+3ln 2-dfrac{1}{2})-(1+3ln 1-dfrac{1}{1}))

$I$= (displaystyle dfrac{3}{2}+3ln 2 )  (unité d’aire).

 

Calcul de $J$

On pose : $u(x)=2x^2-1$ et $u'(x)=4x$.

On modifie l’expression pour la faire apparaître sous la forme $u’times u^3$.

$J$=(displaystyle \dfrac{1}{4} int_{0}^1 4x(2x^2-1)^3 dx )

$J$=(displaystyle dfrac{1}{4}left[dfrac{1}{4}(2x^2-1)^4right]_{0}^1 )

$J$=(displaystyle dfrac{1}{4}left((dfrac{1}{4}(1)^4)-(dfrac{1}{4}(-1)^4)right))

$J$=(displaystyle dfrac{1}{4}left(dfrac{1}{4}-dfrac{1}{4}right))

$J$= $0$