Annale – Fonction convexe et exponentielle

Calculs d'intégrales

Calculs d’intégrales

 

Propriété

 

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$.

Soit $F$, une primitive de (f) sur $I$.

Pour tous réels $a$ et $b$ de l’intervalle $I$, on a :

$displaystyleint_{a}^b  f(t) dt= F(b)- F(a) $   que l’on note aussi

 $displaystyleint_{a}^b  f(t) dt=left[F(t)right]_{a}^b$

Exemples

Calculer :

$I$=(displaystyleint_{1}^2 dfrac{x^2+3x+1}{x^2}dx).

$J$=(displaystyle int_{0}^1 x(2x^2-1)^3 dx).

 

Correction

Calcul de $I$

Étape 1 : La fonction $f(x)= dfrac{x^2+3x+1}{x^2}$ est définie et continue sur $[1;2]$.

On décompose l’expression en trois fractions de dénominateur commun.

$I$=(displaystyleint_{1}^2 (dfrac{x^2}{x^2}+dfrac{3x}{x^2}+dfrac{1}{x^2})dx)

$I$=(displaystyleint_{1}^2 (1+dfrac{3}{x}+dfrac{1}{x^2})dx)

$I$=(displaystyleint_{1}^2 dx+ int_{1}^2dfrac{3}{x}dx+ int_{1}^2dfrac{1}{x^2}dx)

Étape 2 : On peut définir des primitives de chaque expression.

$I$= (displaystyle left[x+3ln x-dfrac{1}{x}right]_{1}^2)

Étape 3 : On calcule $F(2)-F(1)$.

$I$= (displaystyle (2+3ln 2-dfrac{1}{2})-(1+3ln 1-dfrac{1}{1}))

$I$= (displaystyle dfrac{3}{2}+3ln 2 )  (unité d’aire).

 

Calcul de $J$

On pose : $u(x)=2x^2-1$ et $u'(x)=4x$.

On modifie l’expression pour la faire apparaître sous la forme $u’times u^3$.

$J$=(displaystyle dfrac{1}{4} int_{0}^1 4x(2x^2-1)^3 dx )

$J$=(displaystyle dfrac{1}{4}left[dfrac{1}{4}(2x^2-1)^4right]_{0}^1 )

$J$=(displaystyle dfrac{1}{4}left((dfrac{1}{4}(1)^4)-(dfrac{1}{4}(-1)^4)right))

$J$=(displaystyle dfrac{1}{4}left(dfrac{1}{4}-dfrac{1}{4}right))

$J$= $0$

Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème

Soient $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $a$ et $b$ deux réels dans l’intervalle $I$ tels que $aleqslant b $.

Alors, pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c$ compris entre $a$ et $b$ tel que $f(c)=k$.

 

Illustration graphique

--21

 

La fonction représentée en bleu est continue sur $I=[a,b]$.

Pour $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, on remarque graphiquement qu’il existe un $c_1$ dans $[a,b]$ tel que $f(c_1)=k$.

On voit, aussi qu’il existe deux autres $c_2$ et $c_3$ dans $[a,b]$ tels que $f(c_2)=k$ et $f(c_3)=k$. (D’où, dans le théorème, l’importance de l’expression “au moins”)

 

Cas des fonctions strictement monotones

Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $[a,b]$ avec $aleqslant b$.

Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe un unique réel $c$ compris entre $a$ et $b$ tel que $f(c)=k$.

 

Illustration graphique

--22

La fonction représentée en bleu est continue et strictement croissante sur $I=[2,4]$.

Pour $k$ compris entre $f(2)$ et $f(4)$, on remarque graphiquement qu’il existe un unique $c$ dans $[2,4]$ tel que $f(c)=k$.

Étude de la convexité d'une fonction

Étude de la convexité d’une fonction

 

Il existe deux principaux théorèmes permettant d’étudier l’éventuelle convexité ou concavité d’une fonction.

 

Théorème 1 :

 

Soit $f$ une fonction dérivable sur $I$,

1) $f$ est convexe sur $ I iff f’$ est croissante sur $I$

2) $f$ est concave sur $ I iff f’$ est décroissante sur $I$

Pour étudier la convexité d’une fonction, il suffit d’étudier les variations de sa dérivée.

 

Exemple :

Etudions la fonction $f(x) = x^2 -3x +2$ sur l’intervalle $I = mathbb{R}$.

$f$ est une fonction polynôme, elle est donc dérivable sur $mathbb{R}$ et $ f'(x) = 2x – 3$. 

La dérivée de $ f$ est une fonction affine. Le cours permet de conclure que $ f’$ est croissante car $2>0$. 

Ainsi, comme $ f’$ est croissante sur $I$, $f$ est convexe sur $I$.

 

Théorème 2 :

 

Soit $f$ une fonction dérivable sur $I$ et on suppose de plus que $ f”$ existe sur $I$ ($f”$ est la dérivée de la dérivée : c’est la dérivée seconde de $f$),

1) si pour tout $x in I, f”(x) geq 0$, alors $ f$ est convexe sur $I$ 

2) si pour tout $x in I, f”(x) leq 0$, alors $ f$ est concave sur $I$ 

 

Ces deux théorèmes sont liés.

En effet, si on suppose que $ f”(x) geq 0$, cela implique que $ f’$ est croissante et dans les deux cas, $f$ est convexe. 

 

Exemple :

Soit $f(x) = x^2$, on veut démontrer que $f$ est convexe sur $mathbb{R}$. 

Soit $x in mathbb{R}$, on calcule dans un premier temps $ f'(x) = 2x$ puis la dérivée seconde $ f”(x) = 2 geq 0$.

Ainsi, pour tout $x in mathbb{R}, f”(x) geq 0$, donc $f$ est convexe sur $mathbb{R}$.