Annale – Fonction exponentielle et algorithme

Exponentielle - Croissances comparées

 

Croissances comparées

Pour $n$ appartenant à $mathbb{N}$ :

1. $displaystyle \lim limits_{x \rightarrow +infty} frac{e^x}{x} = +infty$ ;             $displaystyle \lim limits_{x \rightarrow +infty} frac{e^x}{x^n}=+infty$

2. $displaystyle \lim limits_{x \rightarrow -infty} xe^x =0$ ;                $displaystyle \lim limits_{x \rightarrow -infty} x^ne^x =0$

 

A savoir aussi :

3. $ displaystylelim_{xto 0} \frac {e^x-1}{x}=1$

 

Exercice 1

Calculer : $displaystyle \lim limits_{x \rightarrow +infty} x^3 -e^x$.

 

Corrigé 

  • étape 1 : On s’interroge sur la présence de formes indéterminées.
    Il y en a une de la forme $infty-infty$.
  • étape 2 : On factorise par $e^x$ le numérateur et le dénominateur.
    $displaystyle \lim limits_{x \rightarrow +infty} e^x(frac{x^3}{e^x}-1)$
  • étape 3 : On utilise le théorème des croissances comparées.

    On sait que $displaystyle \lim limits_{x \rightarrow +infty} frac{e^x}{x^3} = +infty$.

    Donc $displaystyle \lim limits_{x \rightarrow +infty} frac{x^3}{e^x} =displaystyle \lim limits_{x \rightarrow +infty} frac{1}{frac{e^x}{x^3}}= 0$.

Le terme entre parenthèses tend donc vers $-1$.

  • étape 4 : Par produit de limites, on conclut donc :
    $displaystyle \lim limits_{x \rightarrow +infty} x^3 -e^x= -infty$

Exercice 2

Calculer : $displaystyle \lim limits_{x \rightarrow +infty} frac{e^x-x}{2e^x+3}$.

 

Corrigé

  • étape 1 : On s’interroge sur la présence de formes indéterminées.

Il y en a au moins une au numérateur (de la forme $infty-infty$).

  • étape 2 : On factorise par $e^x$ le numérateur et le dénominateur.

    $displaystylelim limits_{x \rightarrow +infty} frac{e^x-x}{2e^x+3}=displaystyle \lim limits_{x \rightarrow +infty} frac{e^x(1-frac{x}{e^x})}{e^x(2+frac{3}{e^x})} = \displaystyle \lim limits_{x \rightarrow +infty} frac{1-frac{x}{e^x}}{2+frac{3}{e^x}}$

  • étape 3 : On utilise le théorème des croissances comparées.

$displaystyle \lim limits_{x \rightarrow +infty} frac{x}{e^x} = 0$  et $displaystyle \lim limits_{x \rightarrow +infty} frac{3}{e^x}=0 $

  • étape 4 : le numérateur tend vers $1$ et le dénominateur tend vers $2$. On conclut donc :

$displaystyle \lim limits_{x \rightarrow +infty} frac{e^x-x}{2e^x+3}= frac{1}{2}$

Fonctions composées - exp(u(x)) - Exercice

Exercice

 

Étudions la fonction (f(x) = largefrac{3e^x}{e^{2x} + 1}).

Étape 1 : On cherche toujours l’ensemble de définition d’une fonction.

Étape 2 : On cherche les limites aux bornes de l’intervalle : en (+infty) et en (-infty).

Étape 3 : On factorise pour lever l’indétermination.

Étape 4 : On utilise ici que (displaystylelim_{x \to -infty} e^x = 0).

Étape 5 : On utilise la formule ((frac{u}{v})’ =large frac{u’v – uv’}{v^2}) pour étudier les variations.

Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème

Soient $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $a$ et $b$ deux réels dans l’intervalle $I$ tels que $aleqslant b $.

Alors, pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c$ compris entre $a$ et $b$ tel que $f(c)=k$.

 

Illustration graphique

--21

 

La fonction représentée en bleu est continue sur $I=[a,b]$.

Pour $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, on remarque graphiquement qu’il existe un $c_1$ dans $[a,b]$ tel que $f(c_1)=k$.

On voit, aussi qu’il existe deux autres $c_2$ et $c_3$ dans $[a,b]$ tels que $f(c_2)=k$ et $f(c_3)=k$. (D’où, dans le théorème, l’importance de l’expression “au moins”)

 

Cas des fonctions strictement monotones

Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $[a,b]$ avec $aleqslant b$.

Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe un unique réel $c$ compris entre $a$ et $b$ tel que $f(c)=k$.

 

Illustration graphique

--22

La fonction représentée en bleu est continue et strictement croissante sur $I=[2,4]$.

Pour $k$ compris entre $f(2)$ et $f(4)$, on remarque graphiquement qu’il existe un unique $c$ dans $[2,4]$ tel que $f(c)=k$.

La boucle Tant que

La boucle Tant que

 

Lors de certains algorithmes, il est possible d’utiliser des boucles dont on ignore le nombre de répétitions : ce sont les boucles Tant que.

 

Exemple :

on dispose d’une population d’individus de 3000 habitants qui augmente chaque année de 2%.

On se demande au bout de combien d’années la population aura dépassé 4000 habitants mais on ignore le nombre d’années : on utilise donc une boucle Tant que.

On écrit donc un algorithme qui permettra de trouver le nombre d’années $N$ pour que la population $P$ dépasse 4000. 

 

  • Variables :  $N, P$
  • Entrée :     $3000 \to P$

                 $0 \to N$

  • Traitement : (on traduit la question avec un boucle)

                 Tant que $P < 4000$ (on souhaite connaitre l’année où la population dépasse 4000 habitants donc tant qu’elle est inférieure à 4000 on continue les calculs et on arrête la première fois qu’elle dépasse 4000). 

                       $ P + 0,02P \to P$

                        $N + 1 \to N$

                  Fin Tant que

  • Sortie :       Afficher $N$

 

Sans les commentaires, l’algorithme est : 

 

Variables :    $N, P$

Entrée :        $3000 \to P$

                    $0 \to N$

Traitement : Tant que $P < 4000$  

                         $P + 0,02P \to P$

                         $N + 1 \to N$

                    Fin Tant que

Sortie :         Afficher $N$

 

 

On peut regarder les différentes valeurs que prennent $N$ et $P$ au début et à la fin de l’algorithme.

Ainsi, au bout d’un an, la population atteint 3060 habitants, $P = 3060$ et $N=1$.

Or $P < 4000$, on continue donc les calculs.

Au bout de 14 années, la population vaut environ $P \approx 3958$.

Mais un an plus tard, au bout de 15 ans, la population vaut $P \approx 4037 > 4000$.

On \ne rentre donc plus dans la boucle Tant que et on affiche la valeur de $N$ c’est à dire 15.

Ainsi, il aura fallu 15 ans pour que la population dépasse 4000 habitants.

 

Le tableau d’avancement du programme est le suivant : 

$P$ $N$
3000 0
3060 1
$vdots$ $vdots$
$approx 3958$ 14
$approx 4037$ 15