Définition du logarithme népérien

Définition du logarithme népérien 

 

Définition

 

La fonction logarithme népérien est l’unique fonction $f$, définie et dérivable sur $]0; +infty[$ qui vérifie $begin{array}{l} f(1) = 0 \ f'(x) = \dfrac{1}{x} end{array}$

On remarquera ici que l’on définit la fonction $f$ à partir de sa dérivée.

En outre, on peut noter que l’on \ne connaissait jusqu’à présent pas de fonction dont la dérivée valait $dfrac{1}{x}$. 

En supposant que le cours portant sur les intégrales a déjà été étudié, on peut alors définir la fonction logarithme népérien, que l’on note $ln$ comme étant la primitive de $x \mapsto dfrac{1}{x}$ sur $]0; +infty[$ et qui s’annule en $1$. 

Ainsi, pour tout réel $x > 0$, 
$ln x = \displaystyle int_1^x \dfrac{1}{t} dt$

On notera que lorsque $x = 1$, $ln 1 = \displaystyle int_1^1 \dfrac{1}{t} dt = 0$. 

Graphiquement, la fonction $ln x$ correspond à l’aire sous la courbe de la fonction inverse, comprise entre les droites verticales d’abscisse $1$ et $x$.

 

Définition de l'intégrale

Définition de l’intégrale

Définition

 

Soit (O,$overrightarrow {i}$,$overrightarrow {j}$) un repère orthonormé et une fonction $f$ continue et positive sur un intervalle $[a,b]$.

$mathcal{D}$ est le domaine du plan délimité par $x$=$a$  ,   $x$=$b$, l’axe des abscisses et $mathcal{C}_f$, la courbe représentative de la fonction $f$.

L’intégrale de $f$ sur $[a,b]$ notée $ \displaystyle \int limits_a^b f (t)dt$ est l’aire $mathcal{A}$ du domaine $mathcal{D}$ exprimée en unités d’aire.

definition_integrale

Exemple

Calculer $I = \displaystyle int_{1}^4 x dx = int_{1}^4 t dt$ ($x$ et $t$ sont des variables muettes). 

integrale-fonction-positive

Etape 1 : On repère l’aire recherchée.

Etape 2 : On remarque qu’il s’agit d’un trapèze rectangle.

Etape 3 : La formule du calcul d’aire du trapèze rectangle est connue. On peut l’utiliser pour calculer l’intégrale :

$ A = dfrac{(B + b) \times h}{2}$

$ A = \dfrac{5 \times 3}{2}$

Finalement, $I = dfrac{15}{2}$  (exprimée en unité d’aire)

 

 

Cas d’une fonction non positive

Le signe d’une aire est toujours positif en revanche celui d’une intégrale va dépendre de la position de la courbe par rapport à l’axe des abscisses.

 

integrale-fonction

 

Ainsi, on pourrait avoir $I$:

$I= \displaystyle \int limits_a^b f (t)dt=- \mathcal {A}_1+ \mathcal {A}_2-mathcal {A}_3+mathcal {A}_4$ 

Les $ \mathcal A_{i}$ sont les aires respectives des quatre domaines representés sur le graphique.

 

 

Exemple

Voici comment représenter: $displaystyle \int limits_0^{1,5} (x^2 -1)dx$

integrale_-fonction-changement-signe

$I = \displaystyle \int limits_0^{1,5} (x^2 -1)dx =- \mathcal {A}_1+ \mathcal {A}_2$

Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème

Soient $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $a$ et $b$ deux réels dans l’intervalle $I$ tels que $aleqslant b $.

Alors, pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c$ compris entre $a$ et $b$ tel que $f(c)=k$.

 

Illustration graphique

--21

 

La fonction représentée en bleu est continue sur $I=[a,b]$.

Pour $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, on remarque graphiquement qu’il existe un $c_1$ dans $[a,b]$ tel que $f(c_1)=k$.

On voit, aussi qu’il existe deux autres $c_2$ et $c_3$ dans $[a,b]$ tels que $f(c_2)=k$ et $f(c_3)=k$. (D’où, dans le théorème, l’importance de l’expression “au moins”)

 

Cas des fonctions strictement monotones

Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $[a,b]$ avec $aleqslant b$.

Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe un unique réel $c$ compris entre $a$ et $b$ tel que $f(c)=k$.

 

Illustration graphique

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La fonction représentée en bleu est continue et strictement croissante sur $I=[2,4]$.

Pour $k$ compris entre $f(2)$ et $f(4)$, on remarque graphiquement qu’il existe un unique $c$ dans $[2,4]$ tel que $f(c)=k$.