Annale – Graphes, suites

Les suites géométriques

Définition

 

Soit $q$ un réel et $(u_n)_{ninmathbb{N}}$ une suite à valeurs réelles.

On dit que $(u_n)$ est une suite géométrique si, et seulement si :

Pour tout $ninmathbb{N}$ : $u_{n+1}=qtimes u_n$

 

$ u_0 underset{times q}{longrightarrow} u_1 underset{times q}{longrightarrow} u_2 underset{times q}{longrightarrow} cdots underset{times q}{longrightarrow} u_{n-1}underset{times q}{longrightarrow} u_n underset{times q}{longrightarrow} u_{n+1}$

On dit alors que $q$ est la raison de la suite géométrique $(u_n)$ et $u_0$ son premier terme.

 

Expression de $u_n$ en fonction de $n$

 

Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q$.

Si $u_0$ est le premier terme de la suite $(u_n)$, on peut démontrer facilement par récurrence que pour tout $ninmathbb{N}$,

$u_n=u_0times q^n$.

On peut encore écrire cette égalité de la manière suivante :

$u_n=u_ptimes q^{n-p}$ avec $pleqslant n$.

 

Somme de termes consécutifs

 

On souhaite calculer la somme de termes consécutifs d’une suite géométrique $(u_n)$.

 

La somme se calcule de la manière suivante :

$text{Somme}=text{(1er terme)} times dfrac{1-q^{text{nombre de termes}}}{1-q}$

Vocabulaire sur les matrices

Vocabulaire sur les matrices

 

Définition

 

Une matrice $(ntimes p)$ est un tableau à $n$ lignes et $p$ colonnes.

Exemple

$A=begin{pmatrix}
3 & 4 & -1 \
0 & dfrac{1}{2} & 7\
end{pmatrix} $    est une matrice $(2times 3)$

Chaque nombre de $A$ est appelé coefficient: par exemple ${a}_{1;2}=4$ est le coefficient de la première ligne et de la deuxième colonne.

 

Vocabulaire

 

Matrice carrée: matrice ayant autant de lignes que de colonnes.

Matrice ligne: matrice ayant une ligne et plusieurs colonnes.

Matrice colonne: matrice ayant une colonne et plusieurs lignes.

Matrice unité:

$I_3=begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0\
0 & 0 & 1\
end{pmatrix} $. 

$I_3$ est une matrice carrée de dimension $3$. Ses coefficients valent $1$ sur la diagonale principale et $0$ ailleurs.

Comment montrer qu'une suite est géométrique ?

Comment montrer qu’une suite est géométrique ?

 

Afin de montrer qu’une suite $(u_n)$ est géométrique, on commence par calculer les premiers termes en s’assurant qu’ils ne sont pas nuls puis on calcule les rapports des premiers termes : $dfrac{u_1}{u_0}$ et $dfrac{u_2}{u_1}$. 

 

Considérons par exemple la suite $u_n = 4 times 3^n$. On a alors $dfrac{u_1}{u_0} = 3$ et $dfrac{u_2}{u_1} = 3$.

Si il apparait que le rapport des premiers termes est une constante $q$: on émet alors une conjecture en supposant que la constante ainsi trouvée est la raison de la suite

Il faut alors montrer en revenant à la définition d’une suite géométrique que $u_{n + 1} = q times u_n$ pour tout $n in mathbb{N}$.

 

En revenant à notre exemple, on souhaite montrer que $u_{n + 1} = 3 u_n$.

Or :

$3 u_n = 3 times ( 4 times 3^n ) $

$3 u_n= 4 times 3^{n + 1} $

$3 u_n= u_{n + 1}$.

Donc $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $3$ et de premier terme $u_0 = 4 times 3^0 = 4 times 1 = 4$.

 

Les graphes probabilistes

Les graphes probabilistes

 

Les graphes probabilistes permettent de transformer une étude probabiliste en un graphe et sa matrice.

Il existe des graphes d’ordre 2 ou d’ordre 3.

Les poids sur chaque arc correspondent à la probabilité de passer d’un événement à un autre en suivant le sens de parcours imposé par la flèche. 
La somme des probabilités inscrites sur les arcs partant d’un événement doit être égale à 1. 

 

Exemples : 

On considère le graphe d’ordre 3 suivant, et on le représente également par une matrice, contenant à l’intersection de la ligne $i$ avec la colonne $j$ la probabilité pour passer de l’événement $i$ à l’événement $j$.

En additionnant les probabilité d’une ligne, on vérifie que le résultat vaut 1. 

graphe_1

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On peut aussi considérer un graphe d’ordre 2. 

 

graphe_ordre_2

 

$M = left ( begin{array}{cc} 0.3 & 0.7 \ 0.8 & 0.2 end{array} right )$

 

Application :

On suppose que la situation que l’on étudie se traduit par le graphe d’ordre 2 précédent, que l’on peut traduire sous forme matricielle. 

On considère un état $P_0 = (a ; b)$ initial. Pour connaitre l’état $P_1$, on multiplie $P_0$ par $M$ et ainsi de suite. 

On trouve alors que pour tout $n in mathbb{N}, P_{n + 1} = P_n times M$.

L’état $n + 1$ correspond à l’état $n$ multiplié par la matrice $M$.  

Il s’agit d’une suite géométrique de raison $M$ et de terme initial $P_0$. 

Ainsi, pour tout $n in mathbb{N}, P_n = P_0 times M^n$. On veillera à ce que l’énoncé donne un premier terme pour $n = 0$. 

 

On essaie de savoir si en regardant pour des états $n$ lointains, le comportement de $P_n$ atteint un état stable, c’est à dire qu’il ne bouge plus, ou encore si la suite $(P_n)$ converge.

Or si aucun des 4 coefficients n’est égal à 0, il existe un état stable, que l’on appelle $P = (x y)$. 

Pour connaitre les valeurs de $x$ et $y$, on sait que la somme des probabilités vaut $1$ et comme il s’agit d’un état stable, il ne change pas lorsque on le multiplie pat la matrice $M$.

On obtient alors le système suivant : $left { begin{array}{c} PM = P \ x + y = 1 end{array} right.$