Annale – Intégrales, loi uniforme

Calculs d'intégrales

Calculs d’intégrales

 

Propriété

 

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$.

Soit $F$, une primitive de (f) sur $I$.

Pour tous réels $a$ et $b$ de l’intervalle $I$, on a :

$displaystyleint_{a}^b  f(t) dt= F(b)- F(a) $   que l’on note aussi

 $displaystyleint_{a}^b  f(t) dt=left[F(t)right]_{a}^b$

Exemples

Calculer :

$I$=(displaystyleint_{1}^2 dfrac{x^2+3x+1}{x^2}dx).

$J$=(displaystyle int_{0}^1 x(2x^2-1)^3 dx).

 

Correction

Calcul de $I$

Étape 1 : La fonction $f(x)= dfrac{x^2+3x+1}{x^2}$ est définie et continue sur $[1;2]$.

On décompose l’expression en trois fractions de dénominateur commun.

$I$=(displaystyleint_{1}^2 (dfrac{x^2}{x^2}+dfrac{3x}{x^2}+dfrac{1}{x^2})dx)

$I$=(displaystyleint_{1}^2 (1+dfrac{3}{x}+dfrac{1}{x^2})dx)

$I$=(displaystyleint_{1}^2 dx+ int_{1}^2dfrac{3}{x}dx+ int_{1}^2dfrac{1}{x^2}dx)

Étape 2 : On peut définir des primitives de chaque expression.

$I$= (displaystyle left[x+3ln x-dfrac{1}{x}right]_{1}^2)

Étape 3 : On calcule $F(2)-F(1)$.

$I$= (displaystyle (2+3ln 2-dfrac{1}{2})-(1+3ln 1-dfrac{1}{1}))

$I$= (displaystyle dfrac{3}{2}+3ln 2 )  (unité d’aire).

 

Calcul de $J$

On pose : $u(x)=2x^2-1$ et $u'(x)=4x$.

On modifie l’expression pour la faire apparaître sous la forme $u’times u^3$.

$J$=(displaystyle \dfrac{1}{4} int_{0}^1 4x(2x^2-1)^3 dx )

$J$=(displaystyle dfrac{1}{4}left[dfrac{1}{4}(2x^2-1)^4right]_{0}^1 )

$J$=(displaystyle dfrac{1}{4}left((dfrac{1}{4}(1)^4)-(dfrac{1}{4}(-1)^4)right))

$J$=(displaystyle dfrac{1}{4}left(dfrac{1}{4}-dfrac{1}{4}right))

$J$= $0$

Loi uniforme sur [a ; b]

Loi uniforme sur un intervalle $[a;b]$

Définition

 

$X$, une variable aléatoire suit une loi uniforme sur $[a;b]$ si et seulement si la fonction de densité de probabilité est :

( \displaystyle f(x)=frac{1}{b-a}).

On vérifie que  ( \displaystyle \int limits_a^{b}f(x)dx=1).

 

Propriétés

 

Pour tout intervalle $[c;d]$ inclus dans $[a;b]$, on a:

( \displaystyle P(cleqslant X \leqslant d)=frac{d-c}{b-a}).

 

loi-uniforme

Exemple

1) On choisit un nombre réel au hasard dans l’intervalle $[0 ;5]$. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre choisi.

  a)Quelle est la probabilité que ce nombre soit supérieur à 4 ?

  b)Compris entre $e$ et $pi$ ? 

 

Correction

1 a) $X$ suit la loi uniforme sur $[0;5]$. La probabilité que ce nombre soit supérieur à 4 est :

$P(X > 4) = P( 4 < Xleq 5)=displaystylefrac{5-4}{ 5-0}=displaystylefrac{1}{ 5}$ 

1 b) La probabilité que ce nombre soit compris entre $e$ et $pi$ est :

$displaystyle P(e \leqslant X \leqslant pi) = frac{pi – e}{5-0} \approx 0, 085$

 

Espérance mathématique – Propriétés

 

Si $X$ suit une loi uniforme sur un intervalle $I = [a; b]$, alors son espérance mathématique vaut :

( \displaystyle E(X)=int limits_a^{b}tf(t)dt= \int limits_a^{b}ttimes frac{1}{b-a}dt )

Soit après calcul :

( \displaystyle E(X)=frac{a+b}{2}).

 

Remarque :

Dans l’exercice précédent, on trouve : $E(X) =displaystyle frac{0+5}{2}= 2,5$.

 

 

 

 

La boucle Pour

La boucle Pour

 

Dans un algorithme, il est possible de vouloir écrire une boucle que l’on souhaite répéter un nombre de fois connu : on utilise alors une boucle Pour. 

 

Exemple :

On souhaite lancer $n$ fois un dé à six faces et afficher à chaque fois la face obtenue.

 

Un algorithme qui traduit cet exemple est le suivant.

 

Variables : $n, f$ (où $n$ est le nombre de répétitions de la boucle, c’est à dire le nombre de lancés et $f$ la face obtenue lors d’un lancé)

Entrée :     Saisir $n$ (on indique le nombre de fois que l’on souhaite lancer le dé)

Traitement : (on écrit la boucle Pour, on utilise un nombre $i$ appelé compteur qui varie de 1 à 6 et qui compte ainsi le nombre de répétitions des opérations comprises entre les instructions Pour et Fin Pour)

                Pour $i$ allant de 1 à $n$

                      nombre_entier(1, 6) $to f$ (il s’agit d’une fonctionnalité préexistante qui permet de donner un nombre entier compris entre 1 et 6 aléatoirement)

                      Afficher $f$

                Fin Pour

Sortie

 

Sans les commentaires, l’algorithme est donc :

 

  • Variables :    $n, f$ 
  • Entrée :        Saisir $n$ 
  • Traitement : Pour $i$ allant de 1 à $n$

                               nombre_entier(1, 6) $to f$ 

                               Afficher $f$

                           Fin Pour

  • Sortie

 

Remarque :

On considère par exemple que l’on souhaite faire $n = 3$ lancés.

Au début $i$ vaut 1. La fonction nombre_entier(1, 6) donne la face obtenue puis on l’affiche.

On recommence ensuite la boucle, $i$ vaut alors 2. A nouveau, la fonction nombre_entier(1, 6) donne la face obtenue puis on l’affiche.

On recommence de même la boucle, $i$ vaut alors 3. On obtient un nombre au hasard que l’on affiche.

Enfin, $i$ valant 3, on quitte la boucle et le programme se termine. 

Si on avait écrit l’instruction “Afficher $f$” en dehors de la boucle, l’algorithme aurait alors stocké 6 fois une face et aurait à la fin de la boucle affiché la dernière face obtenue.