Annale – Probabilités, suites

Probabilités conditionnelles

Probabilités conditionnelles

 

Si deux événements sont dépendants plutôt qu’indépendants, comment calculer la probabilité que les deux se réalisent, puisque la probabilité de réalisation de l’un dépend de la réalisation de l’autre ?

Il nous faut connaître pour cela le degré de dépendance des deux événements qui est indiqué par la notion de probabilité conditionnelle.

 

Définition

Soient $A$ et $B$ deux événements, $B$ étant supposé de probabilité non nulle.

On appelle probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$, la probabilité de réalisation de l’événement $A$ sachant que $B$ est déjà réalisé.

On la note :$P_B(A) = dfrac{p(Acap B)}{p(B)}$

$P_B(A)$ se lit “probabilité de $A$ si $B$” ou “probabilité  de $A$ sachant $B$” .

On représente souvent l’arbre suivant :

--46

 

Exemple

Une entreprise fabrique des boulons destinés à l’industrie. On admet que 3% des boulons présentent un défaut et sont inutilisables. On contrôle les boulons fabriqués.
Ce contrôle refuse 95% des boulons avec défaut et accepte 92% des boulons sans défaut.
On choisit un boulon au hasard.
On note:

$D $ = “le boulon a un défaut”  

$A$ = “le boulon est accepté”

Que valent $P_D(overline{A})$  et $P_{overline{D}}(A)$ ?

 

On interprète chaque pourcentage présent dans l’énoncé sous forme de probabilité.

On traduit les probabilités conditionnelles présentes dans l’énoncé avec la notation appropriée.

$P_{D}(overline{A})=0,95$

$P_{overline{D}}(A)=0,92$.

 

Application des probabilités conditionnelles au calcul de $p(Acap B)$

Pour tous événements $A$ et $B$ quelconques, on a :

$p(Acap B) = p(B) \times mathrm{p}_B(A)$ 

$p(Acap B) = p(A) \times mathrm{p}_A(B)$

 

Raisonnement par récurrence

Raisonnement par récurrence

 

Principe

 

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Considérons une chaîne de dominos, faire tomber un domino entraîne son plus proche voisin dans sa chute et ainsi de suite. 

Le raisonnement par récurrence utilise ce principe. Il existe des conditions pour que l’ensemble des dominos tombe.

Il faut, dans un premier temps, pousser le premier domino et dans un second temps, il faut être certain que la chute de n’importe quel domino entraîne le suivant

 

Mathématiquement, $P_n$ désigne une proposition qui dépend d’un entier naturel $n$ et on souhaite démontrer que $P_n$ est vraie.

Le raisonnement par récurrence se divise en deux parties.

 

I. Initialisation

 

La première est l’initialisation : il faut vérifier que $P_0$ ou $P_1$ est vraie c’est-à-dire que la propriété est vraie pour $n=0$ ou $n=1$ (et par analogie, il faut pousser le premier domino).

 

II. Hérédité

 

La deuxième est l’hérédité : on suppose que $P_n$ est vraie pour un certain $n$ et on démontre que $P_{n + 1}$ est vraie (par analogie, on considère que le $n^text{ème}$ domino tombe et on cherche à savoir si le domino suivant, le $(n + 1)^text{ème}$, tombe également). 

 

En ayant prouvé ces deux parties, cela prouve l’ensemble de la propriété pour tout entier $n$ (tous les dominos tombent). 

Comment montrer qu'une suite est géométrique ?

Comment montrer qu’une suite est géométrique ?

 

Afin de montrer qu’une suite $(u_n)$ est géométrique, on commence par calculer les premiers termes en s’assurant qu’ils \ne sont pas nuls puis on calcule les rapports des premiers termes : $dfrac{u_1}{u_0}$ et $dfrac{u_2}{u_1}$. 

 

Considérons par exemple la suite $u_n = 4 \times 3^n$. On a alors $dfrac{u_1}{u_0} = 3$ et $dfrac{u_2}{u_1} = 3$.

Si il apparait que le rapport des premiers termes est une constante $q$: on émet alors une conjecture en supposant que la constante ainsi trouvée est la raison de la suite

Il faut alors montrer en revenant à la définition d’une suite géométrique que $u_{n + 1} = q \times u_n$ pour tout $n \in mathbb{N}$.

 

En revenant à notre exemple, on souhaite montrer que $u_{n + 1} = 3 u_n$.

Or :

$3 u_n = 3 \times ( 4 \times 3^n ) $

$3 u_n= 4 \times 3^{n + 1} $

$3 u_n= u_{n + 1}$.

Donc $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $3$ et de premier terme $u_0 = 4 \times 3^0 = 4 \times 1 = 4$.