Annale – Programme de calcul, développements, Pythagore, trigonométrie

Trigonométrie

Trigonométrie

 

La trigonométrie permet de mettre en relation des longueurs et des angles dans un triangle rectangle.

 

Vocabulaire

L’hypoténuse correspond au plus grand côté, en face de l’angle droit.

Le côté touchant l’angle $widehat{B}$ autre que l’hypoténuse est appelé le côté adjacent.

Le côté en face de l’angle $widehat{B}$ est appelé le côté opposé.

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On définit ainsi le cosinus, le sinus et la tangente de l’angle $widehat{B}$ par :

$cos widehat{B} = dfrac{text{côté adjacent}}{text{hypoténuse}}$

$sin \widehat{B} = dfrac{text{côté opposé}}{text{hypoténuse}}$

$tan widehat{B} = dfrac{text{côté opposé}}{text{côté adjacent}}$

 

Un moyen mnémotechnique pour se souvenir de ses définitions est :

CAH-SOH-TOA :

Cosinus =  Adjacent divisé par l’Hypoténuse,

Sinus = Opposé divisé par l’Hypoténuse,

Tangente = Opposé divisé par Adjacent

 

Propriétés

Le cosinus et le sinus d’un angle sont reliés par la relation suivant : $(cos widehat{B})^2 + (sin widehat{B})^2 = 1$

Enfin, la tangente d’un angle peut être définie à partir du sinus et du cosinus de l’angle : 

$tan widehat{B} = dfrac{sin widehat{B}}{cos widehat{B}}$

 

Exemple : 

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On cherche la valeur de l’angle $widehat{M}$.

Il s’agit donc de déterminer si il faut utiliser le cosinus, le sinus ou la tangente.

Ici, l’hypoténuse est donné ainsi que le côté adjacent : on utilise donc le cosinus. 

Ainsi, $cos widehat{M} = dfrac{MO}{MP}$

$cos widehat{M} = dfrac{6}{11}approx 0,545$

Donc en utilisant la calculatrice pour déterminer l’angle en connaissant la valeur de son cosinus on trouve $widehat{M} \approx 56,9°$

Théorème de Pythagore

Théorème de Pythagore

 

Propriété

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Si $ABC$ est un triangle rectangle en $A$, alors ${AB}^2 + {AC}^2 = {BC}^2$

Ou encore :

la somme des carrés des deux petits côtés est égale au carré de l’hypoténuse

Cette relation permet, en connaissant la longueur de deux côtés, de trouver la longueur du dernier côté. 

 

Exemple :

Soit $OMP$ un triangle rectangle en $O$, tel que $OM = 5 $ et $MP = 13$.

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D’après le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle $OMP$ rectangle en $O$,

${OM}^2 + {OP}^2 = {MP}^2$ 

$5^2 + {OP}^2 = {13}^2$

$25 + {OP}^2 = 169$

${OP}^2 = 169 – 25$

${OP}^2 = 144$

$OP = sqrt{144}$

$OP = 12$

Réciproque du théorème de Pythagore

Réciproque du théorème de Pythagore

 

Propriété

 

Soit $ABC$ un triangle,

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si ${AB}^2 + {AC}^2 = {BC}^2$, alors $ABC$ est un triangle rectangle en $A$

ou encore

si la somme des carrés des deux petits côtés est égale au carré du troisième alors le triangle est rectangle et le troisième côté est l’hypoténuse

 

Ce théorème permet de prouver qu’un triangle est rectangle en connaissant la valeur de ses côtés.

 

Exemple :

Soit un triangle $RST$ tel que $RT = 1,2$  $TS = 1,6$  $RS = 2$. 

Si l’énoncé \ne fournit pas de schéma, il est utile d’en faire un à main levée qui respecte les proportions (le plus grand côté sur le schéma correspond au plus grand côté du triangle $RST$). 

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Si ce triangle est rectangle, alors son hypoténuse est $RS$ car c’est le plus grand côté.

On calcule alors séparément ${RS}^2$ et ${RT}^2 + {TS}^2$ pour comparer ces valeurs.

Ainsi,

${RS}^2 = 2^2 = 4$.

De même,

${RT}^2 + {TS}^2 = {1,2}^2 + {1,6}^2 $

${RT}^2 + {TS}^2= 1,44 + 2,56$

${RT}^2 + {TS}^2= 4$

Donc ${RS}^2 = {RT}^2 + {TS}^2$

 

D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $RST$ est rectangle en $T$. 

Double distributivité

Double distributivité

 

La formule de la double distributivité est la suivante :

$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$

 

Exemples : 

a) Développer $(x + 2)(3x + 4)$. 

On applique la formule avec $a = x, b = 2, c = 3x$ et $d = 4$. 

Ainsi,

$(x + 2)(3x + 4) = x \times 3x + x \times 4 + 2 \times 3x + 2 \times 4 $

$(x + 2)(3x + 4) = 3x^2 + 4x + 6x + 8$

La dernière étape du calcul consiste à regarder si il est possible d’effectuer une réduction, en regroupant les termes semblables.

Finalement, 

$(x + 2)(3x + 4) = 3x^2 + 10x + 8$. 

 

b) Développer $(5x – 7)(6 – 2x)$. 

L’astuce consiste à réécrire, lorsque l’on débute, le produit sous la forme

$(5x – 7)(6 – 2x) = (5x + (- 7))(6 +  (- 2x))$.

Ainsi, on applique la formule avec $a = 5x, b = -7, c = 6$ et $d = -2x$. 

On trouve alors que :

$(5x – 7)(6 – 2x) =(5x + (- 7))(6 +  (- 2x))$

$(5x – 7)(6 – 2x) = 30x – 10x^2 + – 42 + 14x$

$(5x – 7)(6 – 2x) = -10x^2 + 44x – 42$

 

c) Développer $(1 + y)(2y – 3)$

$(1 + y)(2y – 3) = 2y – 3 + 2y^2 -3y $

$(1 + y)(2y – 3) = 2y^2 – y -3$. 

Triangles semblables

Triangles semblables

 

Définition

 

Deux triangles sont semblables lorsqu’ils ont les mêmes angles deux à deux. 

Deux triangles peuvent être semblables sans avoir les mêmes longueurs.

 

Exemple :

 

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Les triangles $ABC$ et $A’B’C’$ sont semblables.

 

Propriété :

 

Si deux triangles ont leurs côtés respectivement proportionnels alors ils sont semblables.

 

Exemple :

Soient deux triangles $SKI$ et $TOC$.

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Considérons le rapport des longueurs. 

On commence par calculer le rapport des longueurs les plus grandes dans le triangle :

$dfrac{TO}{SI} = \dfrac{9}{6} = dfrac{3}{2}$.

 

On calcule ensuite le rapport des longueurs “moyennes” :

$dfrac{CO}{SK} = dfrac{7,5}{5} = dfrac{3}{2}$.

 

Enfin, on calcule le rapport des plus petites longueurs :

$dfrac{TC}{IK} = dfrac{4,5}{3} = dfrac{3}{2}$.

 

Ainsi, les longueurs des triangles sont proportionnelles : les triangles sont donc semblables. 

Leurs angles sont donc égaux deux à deux.