Annale – Suite et récurrence (moyen)

Les suites géométriques

Définition

 

Soit $q$ un réel et $(u_n)_{ninmathbb{N}}$ une suite à valeurs réelles.

On dit que $(u_n)$ est une suite géométrique si, et seulement si :

Pour tout $ninmathbb{N}$ : $u_{n+1}=qtimes u_n$

 

$ u_0 underset{times q}{longrightarrow} u_1 underset{times q}{longrightarrow} u_2 underset{times q}{longrightarrow} \cdots underset{times q}{longrightarrow} u_{n-1}underset{times q}{longrightarrow} u_n underset{times q}{longrightarrow} u_{n+1}$

On dit alors que $q$ est la raison de la suite géométrique $(u_n)$ et $u_0$ son premier terme.

 

Expression de $u_n$ en fonction de $n$

 

Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q$.

Si $u_0$ est le premier terme de la suite $(u_n)$, on peut démontrer facilement par récurrence que pour tout $ninmathbb{N}$,

$u_n=u_0times q^n$.

On peut encore écrire cette égalité de la manière suivante :

$u_n=u_ptimes q^{n-p}$ avec $pleqslant n$.

 

Somme de termes consécutifs

 

On souhaite calculer la somme de termes consécutifs d’une suite géométrique $(u_n)$.

 

La somme se calcule de la manière suivante :

$text{Somme}=text{(1er terme)} \times dfrac{1-q^{text{nombre de termes}}}{1-q}$

Convergence des suites

Convergence des suites

 

Définitions

 

On dit qu’une suite $(u_n)$ à valeurs réelles est majorée par $M$ si, et seulement si pour tout $nin mathbb{N}$, $u_nleqslant M$.

On dit qu’une suite $(u_n)$ à valeurs réelles est minorée par $m$ si, et seulement si pour tout $nin mathbb{N}$, $u_ngeqslant m$.

 

Théorème de la limite monotone

 

$bullet$ Toute suite à valeurs réelles croissante et majorée par $M$ est convergente vers $ell$ avec $ell \leqslant M$.

$bullet$ Toute suite à valeurs réelles décroissante et minorée par $m$ est convergente vers $ell$ avec $ell \geqslant m$.

Remarque : Le minorant (ou majorant) n’est pas nécessairement la limite de la suite!

Exemple :

On considère la suite $(u_n)$ définie par récurrence de la manière suivante : 

$u_0=0$ et $u_{n+1}=sqrt{3u_n+4}$

1) Montrer que pour tout $ninmathbb{N}$, $u_nleqslant 4$.

2) Démontrer que $(u_n)$ est une suite croissante.

3) La suite $(u_n)$ est-elle convergente?

 

Correction

1) On note $mathcal{P}(n)$ la propriété ” $u_nleqslant 4$ ” et on va démontrer par récurrence que $mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout $ninmathbb{N}$.

Initialisation : on a $u_0=0leqslant 4$ donc $mathcal{P}(0)$ est vraie.

Hérédité : on suppose que $mathcal{P}(n)$ est vraie pour un certain $ninmathbb{N}$.

On sait que $u_{n+1}=sqrt{3u_n+4}$ donc comme par hypothèse de récurrence $u_nleqslant 4$ on a :

 $sqrt{3u_n+4}leqslant sqrt{12+4}=4$ c’est-à-dire $u_{n+1}leqslant 4$.

Ainsi $mathcal{P}(n+1)$ est vraie et la récurrence est établie.

 

2) On a, pour tout $nin mathbb{N}, u_{n+1}=f(u_n)$ avec $f:xmapsto sqrt{3x+4}$ et on sait que $0leqslant u_nleqslant 4$.

Il suffit donc d’étudier les variations de la fonction $f$ sur $[0,4]$ pour trouver les variations de la suite $(u_n)$.

Or la fonction $f$ est la composée de deux fonctions croissantes (racine carrée et une fonction affine à pente positive) donc $f$ est croissante.

Il en résulte donc que la suite $(u_n)$ est croissante.

 

3) D’après le théorème de la limite monotone, comme $(u_n)$ est croissante et majorée par $4$, elle est convergente et en notant $ell$ sa limite, on a $0leqslant \ell \leqslant 4$

 

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Raisonnement par récurrence

Raisonnement par récurrence

 

Principe

 

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Considérons une chaîne de dominos, faire tomber un domino entraîne son plus proche voisin dans sa chute et ainsi de suite. 

Le raisonnement par récurrence utilise ce principe. Il existe des conditions pour que l’ensemble des dominos tombe.

Il faut, dans un premier temps, pousser le premier domino et dans un second temps, il faut être certain que la chute de n’importe quel domino entraîne le suivant

 

Mathématiquement, $P_n$ désigne une proposition qui dépend d’un entier naturel $n$ et on souhaite démontrer que $P_n$ est vraie.

Le raisonnement par récurrence se divise en deux parties.

 

I. Initialisation

 

La première est l’initialisation : il faut vérifier que $P_0$ ou $P_1$ est vraie c’est-à-dire que la propriété est vraie pour $n=0$ ou $n=1$ (et par analogie, il faut pousser le premier domino).

 

II. Hérédité

 

La deuxième est l’hérédité : on suppose que $P_n$ est vraie pour un certain $n$ et on démontre que $P_{n + 1}$ est vraie (par analogie, on considère que le $n^text{ème}$ domino tombe et on cherche à savoir si le domino suivant, le $(n + 1)^text{ème}$, tombe également). 

 

En ayant prouvé ces deux parties, cela prouve l’ensemble de la propriété pour tout entier $n$ (tous les dominos tombent). 

Comment montrer qu'une suite est géométrique ?

Comment montrer qu’une suite est géométrique ?

 

Afin de montrer qu’une suite $(u_n)$ est géométrique, on commence par calculer les premiers termes en s’assurant qu’ils \ne sont pas nuls puis on calcule les rapports des premiers termes : $dfrac{u_1}{u_0}$ et $dfrac{u_2}{u_1}$. 

 

Considérons par exemple la suite $u_n = 4 \times 3^n$. On a alors $dfrac{u_1}{u_0} = 3$ et $dfrac{u_2}{u_1} = 3$.

Si il apparait que le rapport des premiers termes est une constante $q$: on émet alors une conjecture en supposant que la constante ainsi trouvée est la raison de la suite

Il faut alors montrer en revenant à la définition d’une suite géométrique que $u_{n + 1} = q \times u_n$ pour tout $n \in mathbb{N}$.

 

En revenant à notre exemple, on souhaite montrer que $u_{n + 1} = 3 u_n$.

Or :

$3 u_n = 3 \times ( 4 \times 3^n ) $

$3 u_n= 4 \times 3^{n + 1} $

$3 u_n= u_{n + 1}$.

Donc $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $3$ et de premier terme $u_0 = 4 \times 3^0 = 4 \times 1 = 4$.