Asymptotes

Asymptotes à une courbe

 

Asymptotes horizontales :

 

Si (displaystylelim_{x to +infty} f(x) = l)

alors (y = l) est une asymptote de (C_f) au voisinage de (+infty).

 

Asymptotes verticales :

 

Si (displaystylelim_{x to a} f(x) = pm infty)

alors (x = a) est une asymptote de (C_f) au voisinage de (a).

 

Asymptotes obliques (N’est plus au programme depuis 2012) :

 

Si (displaystylelim_{x to +infty} f(x) – (ax + b) = 0)

alors la droite d’équation (y = ax + b) est une asymptote oblique à (C_f) au voisinage de (+infty).

Asymptotes - Exercice

Soient

(f(x) = frac{2}{x+3}) et (Delta  : x = -3)

(g(x) = frac{1}{x^2 + 1} – 2) et (Delta’  : y = -2)

(h(x) = 2x – 7 + frac{1}{x}) et (Delta”  : y = 2x – 7)

Étudions le comportement de chaque courbe par rapport à (Delta), (Delta’) et (Delta”).

Ce qu’il faut savoir faire :

  • Étape 1 : Pour l’asymptote verticale, on calcule la limite quand (x) tend vers (-3).
  • Étape 2 : Pour l’asymptote horizontale, on calcule la limite quand (x) tend vers (+/- infty). Elle doit être égale à (-2).
  • Étape 3 : Pour l’asymptote oblique, on calcule la limite en l’infini de la différence entre (h) et (triangle). Elle doit être égale à (0). (N’est plus au programme 2012-2013.)