Bernoulli et loi binomiale

Schéma de Bernoulli et loi binomiale

Schéma de Bernoulli et loi binomiale

 

Définition 

On appelle schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ la répétition de $n$ expériences de Bernoulli de paramètre $p$, les répétitions étant indépendantes. 

 

Exemple

On lance 2 fois un dé : on répète deux fois la même expérience qui consiste à lancer le dé. 

On appelle ici succès (noté $S$ )le fait d’obtenir 1 lors d’un lancé.

Ainsi la probabilité du succès est $dfrac{1}{6}$ et celle de l’échec $dfrac{5}{6}$. 

 

arbre-probabilite-2-1e

 

C’est donc un schéma de Bernoulli de paramètres $n = 2$ et $p = dfrac{1}{6}$.

Un schéma de Bernoulli se représente toujours par un arbre

On définit à partir d’un schéma de Bernoulli une loi binomiale.

 

Loi binomiale 

On réalise un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$.

On définit une variable aléatoire en posant $X$ qui compte le nombre de succès au cours des $n$ répétitions.

$X$ varie de 0 (c’est à dire 0 succès) à $n$ (c’est à dire uniquement des succès). 

La loi de probabilité de $X$ s’appelle la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$. 

Elle est notée $mathcal{B}(n;p)$

 

Exemple 

Reprenons l’exemple précédent. Il s’agit d’une loi binomiale de paramètres $n = 2$ et $p = dfrac{1}{6}$

$X$ suit donc la loi binomiale : $mathcal{B}(2;dfrac{1}{6})$

 

$X=$

$0$

$1$ $2$
Proba $p(X=0)$ $p(X=1)$ $p(X=2)$

 

Expérience et loi de Bernoulli

Expérience et loi de Bernoulli

 

Définition

Une expérience de Bernoulli est une expérience aléatoire possédant deux issues possibles :

– le succès $S$ de probabilité $p$

– l’échec $overline{S}$ de probabilité $1 – p$

 Une expérience de Bernoulli peut se représenter par un arbre.

arbre-probabilite-1e

Exemple

On lance un dé équilibré. 

On définit le succès $S$ comme étant l’issue “obtenir 6”.

L’échec $overline{S}$ correspond donc au fait d’obtenir un autre nombre que 6. 

La probabilité du succès $p$ vaut $dfrac{1}{6}$.

 

Loi de Bernoulli :

A partir d’une expérience de Bernoulli on peut définir une variable aléatoire $X$ en posant :
– $X = 1$ pour le succès
– $X = 0$ pour l’échec

On dira alors que $X$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$.

On peut représenter les valeurs de $X$ dans un tableau avec leur probabilité associée.

 

Valeurs

$0$

$1$
probabilités $1-p$ $p$

 

Espérance et écart-type

 

L’espérance de $X$ est $E(X) = p$ et son écart-type est $ sigma(X) = sqrt{p(1 – p)}$. 

Formules de la loi binomiale

Formules de la loi binomiale

 

On considère une expérience suivant un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$. Un schéma de Bernoulli est la répétition de $n$ expériences de Bernoulli indépendantes de paramètre $p$, la probabilité du succès.

La variable aléatoire associée est $X$ et compte le nombre de succès au cours des $n$ répétitions.

On notera alors que $X$ suit la loi $mathcal{B}(n; p)$.

De plus, $X$ est compris entre 0 et $n$. 

 

Calculs de probabilités

 

La probabilité d’obtenir exactement $k$ succès vaut :

$P(X = k) = left ( begin{array}{c} n \ k \ end{array} right ) p^k (1 – p)^{n – k}$. 

 

Espérance, écart-type

 

L’espérance d’une loi binomiale est $E(X) = n times p$ et son écart-type vaut $sigma(X) = sqrt{np(1-p)}$.

 

Exemple : 
On lance un dé quatre fois. On cherche la probabilité d’obtenir trois fois le nombre 6. 

On répète donc quatre fois de manière indépendante l’expérience de Bernoulli de paramètre $p = dfrac{1}{6}$.

En effet, lors d’un lancé, la probabilité d’obtenir un 6 est $p = dfrac{1}{6}$.

On définit ainsi un schéma de Bernoulli de paramètres $n = 4$ et $p = dfrac{1}{6}$.

 

$X$ suit donc une loi $mathcal{B} left (4; dfrac{1}{6} right)$.

Ainsi, on cherche à calculer $P(X = 3)$.

En appliquant la formule, 

$ P(X = 3)  = left ( begin{array}{c} 4 \ 3 \ end{array} right ) left(dfrac{1}{6} right )^3  left (1 – dfrac{1}{6} right )^{4 – 3}$

$ P(X = 3)  =4 times dfrac{1}{6^3} times dfrac{5}{6} $

$ P(X = 3)  =dfrac{20}{6^4} approx  0,015 $

Ainsi, la probabilité d’obtenir trois fois le nombre 6 est de 0,015 soit 1,5%. 

Loi binomiale - Schéma

Loi binomiale – Schéma

 

Considérons la loi binomiale de paramètres $n = 3$ et $p = dfrac{1}{6}$.

Cela signifie que l’on répète trois fois l’expérience et que la probabilité du succès est $dfrac{1}{6}$.

Un arbre pondéré est utile pour représenter la loi binomiale. 

 

arbre-binomiale

 

La variable aléatoire associée à la loi binomiale est $X$. Cette dernière permet de compter le nombre de succès.

En considérant le premier chemin par exemple, on rencontre trois fois la lettre $S$ : ainsi, $X  = 3$. 

 

Ainsi, $X$ est compris entre 0 et 3. 

L’arbre permet de calculer des probabilités.

 

Exemple 

Calculons $P(X = 3)$.

En regardant l’arbre, on remarque que cet événement n’a lieu qu’une fois.

Pour obtenir la probabilité associée, il faut alors multiplier entre elles les probabilités inscrites sur les branches parcourues;

$P(X = 3) = dfrac{1}{6} times dfrac{1}{6} times dfrac{1}{6} = dfrac{1}{216}$.

 

Calculons de même $P(X = 1)$. L’événement associé a lieu 3 fois. 

Ainsi, $P(X = 1) =left ( dfrac{5}{6} right )^2 times dfrac{1}{6} + left ( dfrac{5}{6} right )^2 times dfrac{1}{6} +left ( dfrac{5}{6} right )^2 times dfrac{1}{6} =3 times left ( dfrac{5}{6} right )^2 times dfrac{1}{6}$. 

 

Il existe une formule qui permet de simplifier ce calcul. Les calculatrices permettent aussi ces calculs