Calculs d'intégrales

Calculs d’intégrales

 

Propriété

 

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$.

Soit $F$, une primitive de (f) sur $I$.

Pour tous réels $a$ et $b$ de l’intervalle $I$, on a :

$displaystyleint_{a}^b  f(t) dt= F(b)- F(a) $   que l’on note aussi

 $displaystyleint_{a}^b  f(t) dt=left[F(t)right]_{a}^b$

Exemples

Calculer :

$I$=(displaystyleint_{1}^2 dfrac{x^2+3x+1}{x^2}dx).

$J$=(displaystyle int_{0}^1 x(2x^2-1)^3 dx).

 

Correction

Calcul de $I$

Étape 1 : La fonction $f(x)= dfrac{x^2+3x+1}{x^2}$ est définie et continue sur $[1;2]$.

On décompose l’expression en trois fractions de dénominateur commun.

$I$=(displaystyleint_{1}^2 (dfrac{x^2}{x^2}+dfrac{3x}{x^2}+dfrac{1}{x^2})dx)

$I$=(displaystyleint_{1}^2 (1+dfrac{3}{x}+dfrac{1}{x^2})dx)

$I$=(displaystyleint_{1}^2 dx+ int_{1}^2dfrac{3}{x}dx+ int_{1}^2dfrac{1}{x^2}dx)

Étape 2 : On peut définir des primitives de chaque expression.

$I$= (displaystyle left[x+3ln x-dfrac{1}{x}right]_{1}^2)

Étape 3 : On calcule $F(2)-F(1)$.

$I$= (displaystyle (2+3ln 2-dfrac{1}{2})-(1+3ln 1-dfrac{1}{1}))

$I$= (displaystyle dfrac{3}{2}+3ln 2 )  (unité d’aire).

 

Calcul de $J$

On pose : $u(x)=2x^2-1$ et $u'(x)=4x$.

On modifie l’expression pour la faire apparaître sous la forme $u’times u^3$.

$J$=(displaystyle \dfrac{1}{4} int_{0}^1 4x(2x^2-1)^3 dx )

$J$=(displaystyle dfrac{1}{4}left[dfrac{1}{4}(2x^2-1)^4right]_{0}^1 )

$J$=(displaystyle dfrac{1}{4}left((dfrac{1}{4}(1)^4)-(dfrac{1}{4}(-1)^4)right))

$J$=(displaystyle dfrac{1}{4}left(dfrac{1}{4}-dfrac{1}{4}right))

$J$= $0$

Calculs d'intégrales - Exercice

Exercice

 

Calculons (I = displaystyleint_{1}^2 frac{x^2 + 3x + 1}{x^2} dx).

 

Étape 1 : On décompose l’expression en trois fractions de dénominateur commun.

Étape 2 : On peut définir des primitives de chaque expression.

Étape 3 : On calcule (F(b) – F(a)).

Calculs d'intégrales - Exercice 2

Exercice

 

Calculons (J = displaystyleint_{0}^1 x(2x^2 – 1)^3 dx ).

 

Étape 1 : On pose (u(x) = 2x^2 – 1).

Étape 2 : On multiplie par (frac{4}{4}) pour retrouver la dérivée de (u(x)).

Étape 3 : On en déduit du cours une primitive de l’expression.

Étape 4 : On calcule (F(b) – F(a)).