Calculs exacts et approchés

Calcul exact et approché

Calcul exact et approché 

 

1) L’ordre de grandeur

 

L’ordre de grandeur est un moyen permettant de prévoir un résultat en effectuant des approximations lors d’un calcul pour aboutir à un valeur approchée du vrai résultat.

On cherche par exemple un ordre de grandeur de  $1234 \times 19$.

  • $1234$ est proche de $1200$ 
  • $19$ est proche de $20$.

Ainsi,

$1234 \times 19 \approx 1200 \times 20 = 24 000$.

 

2) Valeur exacte ou approchée

 

Exemple 1

On souhaite à présent partager équitablement 725 grammes de noisettes entre trois amis et on se demande quelle part aura alors chacun des amis. 

Comme il s’agit d’un partage équitable, on effectue le calcul suivant $725 \div 3$.

En effectuant ce calcul sur une calculatrice, on trouve un résultat de $241,6666667$.

Pour répondre à la question initiale, plusieurs choix possibles se présentent :

  • $725 \div 3 \approx 241$ en arrondissant à l’unité par défaut, c’est à dire que l’on n’écrit pas la partie décimale du nombre.
  • $725 \div 3 \approx 242$ en arrondissant à l’unité par excès, c’est à dire que l’on n’écrit pas la partie décimale du nombre et on ajoute 1 au chiffre des unités.
  • $725 \div 3 \approx 242$ en arrondissant à l’unité, car le premier chiffre après la virgule est un 6 (qui est supérieur à 5) et de ce fait, $241,666666…$ est plus proche de 242 que de 241.

On peut aussi arrondir au dixième en enlevant les chiffres après le chiffre des dixièmes:

  • $725 \div 3 \approx 241,6$ en arrondissant au dixième par défaut
  • $725 \div 3 \approx 241,7$ en arrondissant au dixième par excès

Enfin, le seul moyen d’écrire le résultat sous forme exacte est de l’écrire sous la forme d’une fraction $725 \div 3 = dfrac{725}{3}$. 

 

Exemple 2

On désire désormais calculer la longueur d’un cercle de rayon $5$ cm. 

cercle_2
On sait par ailleurs que le périmètre d’un cercle est donné par la formule suivant :

$P=2times \pi r$ où $r$ est le rayon.

$P=2 \times \pi \times 5 $

$P= 2 \times 5 \times \pi = 10 \times pi$. 

C’est la valeur exacte de la longueur du cercle. 

En voici une valeur approchée : 

$P=10 \times \pi $

$P \approx 10 \times 3,14 \approx 31,4$ cm.