Caractérisation des nombres complexes

Nombres complexes et vecteurs

Nombres complexes et vecteurs

 

Distances et vecteurs

On considére deux points $A$($z_A$) et $B$($z_B$) du plan complexe $left(O;overrightarrow{u};overrightarrow{v}right)$.

Le milieu $I$ du segment $[AB]$ a pour affixe :

$z_I=dfrac{z_A+z_B}{2}$.

 

Le vecteur $overrightarrow{AB}$ a pour affixe $z_B-z_A$.

 

Il en résulte donc que la distance $AB$ vaut :

$AB=|z_B-z_A|$.

 

Angles et arguments

Soient $A(z_A)$, $B(z_B)$, $C(z_C)$ et $D(z_D)$ quatre points du plan complexe $left(O;overrightarrow{u};overrightarrow{v}right)$.

On a les résultats suivants :

$ boxed{ arg(z_B-z_A)=(overrightarrow{u},overrightarrow{AB}) ~ [2pi]}$

--38

 

$boxed{ argbigg(dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}bigg) = (overrightarrow{AB},overrightarrow{CD}) ~ [2pi]}$

--39

Exemple

On donne les quatre points suivants :

$A(0,0)$, $B(dfrac{sqrt3}{2},dfrac12)$, $C(dfrac12,-dfrac12)$ et $D(1,-dfrac12)$.

Calculer une mesure de l’angle $(overrightarrow{AB},overrightarrow{CD})$.

On commence par donner l’affixe des quatre points :

  • $ z_A=0$
  • $z_B=dfrac{sqrt3}{2}+dfrac12 i$
  • $z_C=dfrac12-dfrac12 i$
  • $z_D=1-dfrac12 i$

 

On a alors :

$dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} = dfrac{(1-dfrac12 i)-(dfrac12-dfrac12 i)}{(dfrac{sqrt3}{2}+dfrac12 i)-(0)} $

$dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} = dfrac{dfrac12}{dfrac{sqrt3}{2}+dfrac12 i}$.

En simplifiant par $2$ puis en multipliant par la quantité conjuguée, on a : 

$dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}=dfrac{sqrt3-i}{4} $

$dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} = dfrac{1}{2}times left( dfrac{sqrt3}{2}-dfrac12 iright)$

En utilisant les méthodes précédentes, on montre facilement que :

$argleft( dfrac{sqrt3}{2}-dfrac12 iright) = -dfrac{pi}{6} ~ [2pi] $.

On trouve donc :

$argbigg(dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}bigg) = -dfrac{pi}{6} ~ [2pi] $.

Conclusion :

Comme

$argbigg(dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}bigg) = (overrightarrow{AB},overrightarrow{CD}) ~ [2pi]$,

on a donc : 

$(overrightarrow{AB},overrightarrow{CD})=-dfrac{pi}{6} ~ [2pi]$

 

Complexes et ensembles de points - Exercice 1

Exercice

 

Déterminons l’ensemble des points (M(z)) du plan vérifiant (left|z – 2i right| = 3).

Étape 1 : On pose le point (A) d’affixe (2i).

Étape 2 : On reconnait le module de l’affixe du vecteur (overrightarrow{AM}) qui est aussi la longueur (AM).

Étape 3 : L’ensemble des points recherché se situe sur un cercle de centre (A) et de rayon 3.

Complexes et ensembles de points : exercice 2

Exercice

 

Déterminons l’ensemble des points (M(z)) du plan vérifiant (left|z + 3i + 1 right| = left|iz – 3i right|).

Étape 1 : On modifie l’expression de sorte à faire apparaître une forme du type ( left|z_A – z_Bright|).

Étape 2 : On pose le point (B) d’affixe (-3i – 1) tel que nous venons de le définir.

Étape 3 : On déduit de cette expression qu’il s’agit de la longueur (MB).

Étape 4 : On factorise la deuxième expression par (i).

Étape 5 : On sait que le module d’un produit est le produit des modules.

Étape 6 : On pose le point (A) d’affixe 3. Et on en déduit que l’expression correspond à la longueur (MA).

Étape 7 : L’ensemble des points se trouve donc sur la médiatrice de ([AB]) que nous pouvons tracer.

Complexes et ensembles de points : Exercice 3

Exercice

 

Déterminons l’ensemble des points (M(z)) du plan vérifiant (arg(z – 2i) = frac{pi}{3} [2pi]).

Étape 1 : On sait que ( arg(z_B – z_A) = (overrightarrow{u} ; overrightarrow{AB}) [2pi]).

Étape 2 : On pose le point (C) d’affixe (2i).

Étape 3 : On en déduit d’après le cours que l’angle formé entre les vecteurs (overrightarrow{u}) et (overrightarrow{CM}) vaut (frac{pi}{3}).

Étape 4 : On n’oublie pas qu’un angle de (frac{pi}{3}) est égal à (60^o) (soit (frac{180^o}{3})).

Étape 5 : On conclut en disant que l’ensemble des solutions est la demi droite (Cx) avec (C) exclu.

Caractérisation de nombres complexes

Caractérisations des nombres complexes

 

Réels et imaginaires purs

Soit $z=a+ib$ un nombre complexe quelconque.

On dit que $z$ est réel lorsque $b=0$ et que $z$ est imaginaire pur lorsque $a=0$.

 

Exemple

  • $2i$ est imaginaire pur,
  • $3$ est réel
  • $3+2i$ n’est ni réel, ni imaginaire pur.

 

Caractérisation avec les parties réelles et imaginaires

On constate simplement que si $z$ est un nombre complexe non nul, $boxed{zin mathbb{R} Leftrightarrow Im(z)=0}$.

Autrement dit, $z$ est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle.

De même, $z$ est imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle : $boxed{zin imathbb{R} Leftrightarrow Re(z)=0}$.

 

Caractérisation avec l’argument

Soit $z$ un nombre complexe non nul.

 $bullet$ $z$ est réel si et seulement si $arg(z)=kpi$ avec $kin mathbb{Z}$.

 $bullet$ $z$ est imaginaire pur si et seulement si $arg(z)=dfrac{pi}{2}+kpi$ avec $kin mathbb{Z}$.

 

Illustration graphique

 

--37

L’affixe du point $M$ est un réel négatif, tandis que l’affixe du point $N$ est imaginaire pur.

le point $A$ a un affixe réel égal à $1$.