Centre de gravité d’un triangle

Centre de gravité du triangle

Centre de gravité d’un triangle 

 

Rappel : milieu d’un segment

Soient $B$ et $C$ deux points du plan, 

$A’$ est le milieu de $[BC]$ si et seulement si $overrightarrow{BA’} = \dfrac{1}{2} overrightarrow{BC}$ ce qui est équivalent à dire en utilisant la relation de Chasles que $overrightarrow{A’B} + overrightarrow{A’C}= overrightarrow{0}$

 

Définition :

Soit $ABC$ un triangle, il existe un point du plan, noté $G$, et un seul, tel que

$overrightarrow{GA} + overrightarrow{GB} + overrightarrow{GC} = overrightarrow{0}$. 

Ce point est appelé le centre de gravité du triangle

572499ef31c8734a9b085855ff143ff0d0d6cc50.png

1. Point de concours des médianes

 

On réécrit cette égalité en faisant apparaitre le point $A$ dans les deux derniers vecteurs par la relation de Chasles.

Cela devient alors 

$overrightarrow{GA} + (overrightarrow{GA} + overrightarrow{AB}) +   (overrightarrow{GA} + overrightarrow{AC}) = overrightarrow{0}$

En regroupant les $overrightarrow{GA}$ on a alors :

$overrightarrow{AG} = \dfrac{1}{3} (overrightarrow{AB} + overrightarrow{AC})$

Enfin, en faisant apparaitre le milieu de $[BC]$, c’est à dire $A’$ on trouve :

$overrightarrow{AG} = \dfrac{1}{3} (overrightarrow{AA’} + overrightarrow{A’C} + overrightarrow{AA’} + overrightarrow{A’B}) = \dfrac{2}{3} overrightarrow{AA’} + dfrac{1}{3}(overrightarrow{A’C}+ overrightarrow{A’B}) $

Or $(overrightarrow{A’C}+ overrightarrow{A’B})$ par définition car $A’$ est le milieu du segment.

 

On obtient ainsi une propriété importante :

$overrightarrow{AG} = \dfrac{2}{3} overrightarrow{AA’}$. 

 

De même, on trouve :

$overrightarrow{BG} = \dfrac{2}{3} overrightarrow{BB’}$

$overrightarrow{CG} = \dfrac{2}{3} overrightarrow{CC’}$.

 

Cela signifie donc que le point $G$ est situé au $ dfrac{2}{3}$ des médianes du triangle en partant des sommets.

Il appartient donc aux trois médianes du triangle, qui sont concourantes en un seul point : c’est donc le centre de gravité $G$. 

 

2. Valeur minimale de ${MA}^2 + {MB}^2 + {MC}^2 $

 

Soit $ABC$ un triangle et $G$ son centre de gravité.

A tout point $M$ du plan on associe le réel ${MA}^2 + {MB}^2 + {MC}^2 $

0dda6520921d6a67d5401b35f69e579cf9c8d0ef.png

Par exemple, si $M = A$, on obtient l’égalité suivante : ${MA}^2 + {MB}^2 + {MC}^2 =  {AB}^2 + {AC}^2 $.

 

On cherche à présent le point $M$ rendant minimal le réel $f(M) = {MA}^2 + {MB}^2 + {MC}^2 $.

Or ${MA}^2 = overrightarrow{MA}^2$. On réécrit donc la fonction $f$ en écrivant des vecteurs. 

$f(M) = overrightarrow{MA}^2 + overrightarrow{MB}^2 + overrightarrow{MC}^2$

On applique à présent la propriété de Chasles en introduisant le point $G$ : 

$f(M) = (overrightarrow{MG} + overrightarrow{GA})^2 + (overrightarrow{MG} + overrightarrow{GB})^2 + (overrightarrow{MG} + overrightarrow{GC})^2$

On peut ensuite appliquer les formules de développement des identités remarquables. 

Donc, $f(M) = 3overrightarrow{MG}^2 + overrightarrow{GA}^2 + overrightarrow{GB}^2 +overrightarrow{GC}^2 + 2overrightarrow{MG}.(overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + overrightarrow{GC})$

Or par définition, $overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = overrightarrow{0}$

Ainsi, $f(M) = 3overrightarrow{MG}^2 + overrightarrow{GA}^2 + overrightarrow{GB}^2 +overrightarrow{GC}^2 $

La quantité $overrightarrow{GA}^2 + overrightarrow{GB}^2 +overrightarrow{GC}^2 $ est fixe, seul le terme $3{MG}^2$ est variable.

De plus, $3{MG}^2 \geq 0$, donc en ajoutant $overrightarrow{GA}^2 + overrightarrow{GB}^2 +overrightarrow{GC}^2 $ des deux côtés on trouve :

$f(M) \geq overrightarrow{GA}^2 + overrightarrow{GB}^2 +overrightarrow{GC}^2 $

On vient de trouver un minorant de la fonction $f$.

Il reste à déterminer si il existe une valeur de $M$ pour laquelle la fonction $f$ est égale à ce minorant qui serait alors le minium de la fonction. 

On remarque que $f(M) = overrightarrow{GA}^2 + overrightarrow{GB}^2 +overrightarrow{GC}^2 $ lorsque le terme $3{MG}^2$ est nul, ou encore que $GM = 0$ ce qui signifie que $M = G$.

Conclusion :

La fonction $f$ est minimale lorsque $M$ est confondu avec le centre de gravité $G$ et elle vaut alors ${GA}^2 + {GB}^2 + {GC}^2$.