Transformation de l’expression $overrightarrow{MA}cdot overrightarrow{MB}$

Transformation de l'expression $overrightarrow{MA} . overrightarrow{MB}$

Transformation de l’expression $overrightarrow{MA} . overrightarrow{MB}$ – Recherche de lieux géométriques

 

I) Transformation de l’expression $overrightarrow{MA} . overrightarrow{MB}$ .

 

Propriété : 

Soient $A$ et $B$ deux points et $I$ milieu de $[AB]$,
Pour tout point $M$ du plan, on a $overrightarrow{MA} . overrightarrow{MB} = {MI}^2 – dfrac{{AB}^2}{4}$.

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Rappels :

Le produit scalaire $overrightarrow{MA} . overrightarrow{MA}$ peut être calculé de différentes manières.

Il peut être calculé en considérant le produit de la norme de $overrightarrow{MA}$ par la norme du projeté orthogonal de $overrightarrow{MA}$ sur lui même, à savoir lui même.

Autrement dit,  $overrightarrow{MA} . overrightarrow{MA} = MA \times MA = {MA}^2$, où $MA = | overrightarrow{MA} |$.

On peut aussi utiliser la formule faisant intervenir le cosinus de l’angle orienté entre les deux vecteurs :

$overrightarrow{MA} . overrightarrow{MA} = MA \times MA \times cos(overrightarrow{MA};overrightarrow{MA})$. 

Or $(overrightarrow{MA};overrightarrow{MA}) = 0$ et comme $cos(0) = 1$ alors $overrightarrow{MA} . overrightarrow{MA} = MA \times MA = {MA}^2$. 

On a ainsi l’égalité suivante : $overrightarrow{MA}^2 = \overrightarrow{MA} . overrightarrow{MA} = {MA}^2$. 

 

Preuve de la propriété :

On calcule le produit scalaire $overrightarrow{MA} . overrightarrow{MB}$ en utilisant le point $I$ et la relation de Chasles :

$overrightarrow{MA} . overrightarrow{MB} = (overrightarrow{MI} + overrightarrow{IA})  . (overrightarrow{MI}+ overrightarrow{IB})$.

Or $I$ est le milieu de $[AB]$ donc $overrightarrow{AI} = overrightarrow{IB} =- overrightarrow{IA} $.

Ainsi, $overrightarrow{MA} . overrightarrow{MB} = (overrightarrow{MI} + overrightarrow{IA})  . (overrightarrow{MI}- overrightarrow{IA}) = overrightarrow{MI}^2 – overrightarrow{IA}^2 = {MI}^2 – {IA}^2$.

Enfin, comme $I$ est le milieu de $[AB]$ on peut écrire que $IA = dfrac{AB}{2}$. 

Ansi,  $overrightarrow{MA} . overrightarrow{MB} = {MI}^2 – \left ( \dfrac{AB}{2} \right )^2 = {MI}^2 – dfrac{{AB}^2}{4}$. 

 

II) Recherche de lieux géométriques 

 

Exemple :

Soient $A$ et $B$ deux points tels que $AB = 4$ cm.

On cherche à déterminer l’ensemble des points $M$ tels que $overrightarrow{MA} . overrightarrow{MB} = 12$.

On applique la propriété précédente pour trouver cet ensemble de points.

$overrightarrow{MA} . overrightarrow{MB} = 12$ 

$iff {MI}^2 – dfrac{{AB}^2}{4} = 12$ 

$iff {MI}^2 – dfrac{4^2}{4} = 12$

$ \iff {MI}^2 – 4 = 12$

$ \iff {MI}^2= 16$.

Comme $MI$ est une distance, la solution de cette équation est un nombre positif, ainsi  :

$MI = 4$. 

Cela correspond donc à l’ensemble des points $M$ situés à une distance de $4$ centimètres du point $I$, il s’agit donc du cercle de centre $I$ et de rayon $4$. 

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