Comparer deux quantités

Comparer deux quantités 

 

Principe 

 

Comparer deux quantités $A$ et $B$ revient à chercher la plus grande des deux ou conclure qu’elles sont égales.

Il peut y avoir plusieurs méthodes pour comparer deux quantités :

 

1) On cherche le signe de la différence :

$A > B$ équivaut à $A – B > 0$ et $B – A < 0$. 

 

2) On compare le quotient (de réels positifs) au nombre $1$.

$\left \{ \begin{array}{l} A > B \\ A > 0 \\ B > 0 \\ \end{array} \right.$ équivaut à $\dfrac{A}{B} > 1$ et $ \dfrac{B}{A} < 1$. 

 

Exemple 

On souhaite comparer $\dfrac{7}{6}$ et $\dfrac{10}{9}$ en utilisant les deux principes précédents.

a) On commence donc par calculer la différence, en mettant les fractions au même dénominateur.

$\dfrac{10}{9} – \dfrac{7}{6} = \dfrac{10 \times 2}{9 \times 2} – \dfrac{7 \times 3}{6 \times 3} = \dfrac{20}{18} – \dfrac{21}{18} = \dfrac{-1}{18} < 0$.

Donc $\dfrac{10}{9} – \dfrac{7}{6} < 0$, ainsi $\dfrac{10}{9} < \dfrac{7}{6}$.

b) On calcule à présent le quotient des fractions, en vérifiant qu’elles sont bien toutes deux positives.

$\dfrac{\dfrac{10}{9}}{\dfrac{7}{6}} = \dfrac{10}{9} \times \dfrac{6}{7} = \dfrac{60}{63}$.

Le numérateur étant plus petit que le dénominateur, $\dfrac{60}{63} < 1$. 

Ainsi, $\dfrac{\dfrac{10}{9}}{\dfrac{7}{6}} < 1$ donc $\dfrac{10}{9} < \dfrac{7}{6}$. 

 

Application 

 

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies pour tout $x \in [0; + \infty [$ par $f(x) = x^2 + 1$ et $g(x) = x + 1$. 

On souhaite étudier la position relative de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$, c’est à dire savoir quand $f$ est plus grande que $g$ et inversement. 

Pour cela, on calcule la différence :

$f(x) – g(x) = x^2 + 1 – (x + 1) = x^2 + 1 – x – 1 = x^2 – x = x(x-1)$.

On préfèrera factoriser l’expression pour simplifier l’étude du signe. 

Le premier facteur $x$ est toujours positif sur $[0; + \infty [$ et $(x – 1)$ est négatif pour $ x \in ]0; 1[$ et positif pour $x \geq 1$. 

tableau_de_signe_f-g

Ainsi $f(x) – g(x) <  0$ pour $x \in ]0; 1[$.

Donc $f(x) < g(x)$ pour $x \in ]0; 1[$.

Ainsi $\mathcal{C}_f$ est en dessous de $\mathcal{C}_g$.

On ne pourra pas écrire que $\mathcal{C}_f$ est inférieure de $\mathcal{C}_g$ mais on dira que $f$ est inférieure à $g$. 

Pour $x >1$,

$f(x) – g(x) > 0$ donc $\mathcal{C}_f$ est en dessus de $\mathcal{C}_g$. 

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