Cosinus et sinus d’un nombre réel

Cosinus et sinus d'un nombre réel

Cosinus et Sinus d’un nombre réel. Valeurs remarquables. 

I) Cosinus et Sinus d’un angle

a) Définition

Dans le plan muni d’un repère orthonormé $(O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ et orienté dans le sens direct (sens anti-horaire), on considère un cercle trigonométrique de centre $O$ et de rayon 1.

Pour tout réel $x$, considérons le point $N$ de la droite orientée d’abscisse $x$. Cette droite est la droite des réelles et est tangente au cercle trigonométrique au point de coordonnées $(1, 0)$.

A ce point $N(x)$, on fait correspondre par enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique un point $M$. 
On appelle $H$ et $K$ les pieds respectifs des perpendiculaires à l’axe des abscisses et à l’axe des ordonnées passant par $M$. 
Le cosinus du nombre réel $x$ est l’abscisse de $M$, c’est à dire la distance $OH$, et on le note $\cos(x)$. 
Le sinus du nombre réel $x$ est l’ordonnée de $M$, c’est à dire la distance $OK$, et on le note $\sin(x)$.

b) Lien avec le sinus et le cosinus dans un triangle rectangle

Si à $x$ correspond une mesure d’angle aigu, c’est à dire inférieure à $90$° ou $\dfrac{\pi}{2}$ radians, alors on retrouve la définition du cosinus et sinus dans un triangle rectangle.
On se place dans le triangle $OMH$, rectangle en $H$ par définition du point $H$.

$\cos(x) = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{OH}{OM}$.

Or $[OM]$ est le rayon du cercle trigonométrique de rayon 1, donc $OM = 1$.

Ainsi, $\cos(x) = \dfrac{OH}{OM} = \dfrac{OH}{1} = OH$.

De même, $\sin(x) = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{HM}{OM} = \dfrac{OK}{OM} = \dfrac{OK}{1}  = OK$.

La différence entre les nouvelles définitions du cosinus et sinus et celles dans un triangle rectangle est que $x$ peut désormais prendre toutes les valeurs réelles possibles . 

II) Valeurs remarquables 

On commence par calculer la hauteur d’un triangle équilatéral de côté $1$.

Dans ce triangle, la hauteur et la médiatrice sont confondues, donc la hauteur coupe le segment en deux segments de même longueur.
On se place dans le triangle rectangle $ABC$, rectangle en $A$. D’après le théorème de Pythagore on a : 
$BC^2 = AB^2 + AC^2$ c’est à dire $1^2 =\left ( \dfrac{1}{2} \right )^2 + h^2 $ c’est à dire $ 1 – \dfrac{1}{4} = h^2$ donc $h = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Calculons ensuite le côté $a$ d’un carré de diagonale $1$. 

Pour calculer les valeurs remarquables, on utilise le cercle trigonométrique sur lequel on a inscrit différents angles.

Lorsque $x = 0$, l’abscisse vaut $1$ et l’ordonnée vaut $0$.

Lorsque $x = \dfrac{\pi}{6}$, on souhaite calculer l’abscisse correspondante. Pour cela, on se place dans le triangle rouge, dont un angle vaut $2 \times \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{3}$ et dont deux côtés valent $1$ : c’est donc un triangle équilatéral.

On cherche ainsi à calculer la hauteur dans un triangle équilatéral, c’est à dire $h = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$. L’ordonnée de $x$ vaut $\dfrac{1}{2}$ car la hauteur coupe le segment dans un triangle équilatéral en son milieu.

Lorsque $x = \dfrac{\pi}{4}$, on se place dans le carré vert. On cherche à calculer le côté d’un carré de diagonale $1$ c’est à dire $a =\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Comme il s’agit d’un carré, l’abscisse et l’ordonnée sont égales et valent $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Lorsque $x = \dfrac{\pi}{3}$, on se place dans le triangle équilatéral bleu et on cherche à calculer l’abscisse de la hauteur qui coupe le segment en son milieu, donc l’abscisse vaut $\dfrac{1}{2}$. L’ordonnée correspond à la hauteur d’un triangle équilatéral de côté $1$ c’est à dire $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Lorsque $x = \dfrac{\pi}{2}$, l’ordonnée vaut $1$ et l’abscisse vaut $0$.

Lorsque $x = \pi$, l’abscisse vaut $-1$ et l’ordonnée vaut $0$.

On regroupe alors les données dans un tableau :