Croissance comparées $e^x$ et $x^n$

Exponentielle - Croissances comparées

 

Croissances comparées

Pour $n$ appartenant à $mathbb{N}$ :

1. $displaystyle \lim limits_{x \rightarrow +infty} frac{e^x}{x} = +infty$ ;             $displaystyle \lim limits_{x \rightarrow +infty} frac{e^x}{x^n}=+infty$

2. $displaystyle \lim limits_{x \rightarrow -infty} xe^x =0$ ;                $displaystyle \lim limits_{x \rightarrow -infty} x^ne^x =0$

 

A savoir aussi :

3. $ displaystylelim_{xto 0} \frac {e^x-1}{x}=1$

 

Exercice 1

Calculer : $displaystyle \lim limits_{x \rightarrow +infty} x^3 -e^x$.

 

Corrigé 

  • étape 1 : On s’interroge sur la présence de formes indéterminées.
    Il y en a une de la forme $infty-infty$.
  • étape 2 : On factorise par $e^x$ le numérateur et le dénominateur.
    $displaystyle \lim limits_{x \rightarrow +infty} e^x(frac{x^3}{e^x}-1)$
  • étape 3 : On utilise le théorème des croissances comparées.

    On sait que $displaystyle \lim limits_{x \rightarrow +infty} frac{e^x}{x^3} = +infty$.

    Donc $displaystyle \lim limits_{x \rightarrow +infty} frac{x^3}{e^x} =displaystyle \lim limits_{x \rightarrow +infty} frac{1}{frac{e^x}{x^3}}= 0$.

Le terme entre parenthèses tend donc vers $-1$.

  • étape 4 : Par produit de limites, on conclut donc :
    $displaystyle \lim limits_{x \rightarrow +infty} x^3 -e^x= -infty$

Exercice 2

Calculer : $displaystyle \lim limits_{x \rightarrow +infty} frac{e^x-x}{2e^x+3}$.

 

Corrigé

  • étape 1 : On s’interroge sur la présence de formes indéterminées.

Il y en a au moins une au numérateur (de la forme $infty-infty$).

  • étape 2 : On factorise par $e^x$ le numérateur et le dénominateur.

    $displaystylelim limits_{x \rightarrow +infty} frac{e^x-x}{2e^x+3}=displaystyle \lim limits_{x \rightarrow +infty} frac{e^x(1-frac{x}{e^x})}{e^x(2+frac{3}{e^x})} = \displaystyle \lim limits_{x \rightarrow +infty} frac{1-frac{x}{e^x}}{2+frac{3}{e^x}}$

  • étape 3 : On utilise le théorème des croissances comparées.

$displaystyle \lim limits_{x \rightarrow +infty} frac{x}{e^x} = 0$  et $displaystyle \lim limits_{x \rightarrow +infty} frac{3}{e^x}=0 $

  • étape 4 : le numérateur tend vers $1$ et le dénominateur tend vers $2$. On conclut donc :

$displaystyle \lim limits_{x \rightarrow +infty} frac{e^x-x}{2e^x+3}= frac{1}{2}$

Exponentielle - Croissances comparées - Exercice 1

Calculer

(displaystylelim_{x \to +infty} x^3 – e^x).

  • Étape 1 : On s’interroge sur la présence de formes indéterminées.
  • Étape 2 : On factorise par (e^x).
  • Étape 3 : On utilise le théorème des croissances comparées.
  • Étape 4 : Évidemment, on n’oublie pas de conclure.

Exponentielle - Croissances comparées - Exercice 2

Calculer

(displaystylelim_{x \to +infty} frac{e^x – x}{2e^x + 3}).

  • Étape 1 : On s’interroge sur la présence de formes indéterminées.
  • Étape 2 : On factorise par (e^x) le numérateur et le dénominateur.
  • Étape 3 : On utilise le théorème des croissances comparées.
  • Étape 4 : Évidemment, on n’oublie pas de conclure.