Théorème des croissances comparées

Théoréme des croissances comparées

 

Pour $n$ appartenant à $mathbb{N}$ :

1. $displaystyle \lim limits_{substack{x \to 0\ x > 0}} x \ln x = 0$    et    $displaystyle \lim limits_{substack{x \to 0\ x > 0}} x^n \ln x = 0.$

2. $displaystyle \lim limits_{x \rightarrow +infty} \dfrac{ln x}{x}=0$    et    $displaystyle \lim limits_{x \rightarrow +infty} \dfrac{ln x}{x^n}=0.$

 

Exemple

Calculer $displaystyle \lim limits_{x \rightarrow +infty} x^3-ln x$.

 

étape 1 : On repére une forme indéterminée du type $infty-infty$ et on factorise par $x^3$.

$displaystyle \lim limits_{x \rightarrow +infty} x^3-ln x=displaystyle \lim limits_{x \rightarrow +infty} x^3( 1- \dfrac{ln x}{x^3}) $

étape 2 : On utilise le théoréme des croissances comparées pour lever l’indétermination.

On sait que: $displaystyle \lim limits_{x \rightarrow +infty} \dfrac{ln x}{x^3}= 0$.

Ainsi, le terme dans la parenthése tend vers $1$ et par produit de limites, on obtient :

$displaystyle \lim limits_{x \rightarrow +infty} x^3( 1- \dfrac{ln x}{x^3})=+infty$

 

Nombre dérivé en 1

A savoir : $displaystylelim_{hto 0} \dfrac \{ \ln (1+h)}{h}=1$

 

Preuve :

On calcule $displaystylelim_{hto 0} \dfrac \{ \ln (1+h)}{h}$.

étape 1 : On réécrit la limite de manière à faire apparaître $ln 1$ au numérateur et 1 au dénominateur.

On vérifie aisément que $h=1+h-1$.

$displaystylelim_{hto 0} \dfrac \{ \ln (1+h)}{h}=displaystylelim_{hto 0} \dfrac \{ \ln (1+h)-ln 1}{1+h-1}$

étape 2 : On reconnaît la formule du nombre dérivé de la fonction $ln $ en 1.

La fonction $ln $ a pour dérivée la fonction $displaystyle dfrac{1}{x}$ qui prend donc la valeur 1 lorsque $x=1$.

Conclusion : $displaystylelim_{hto 0} \dfrac \{ \ln (1+h)-ln 1}{(1+h)-1}=displaystylelim_{hto 0} \dfrac \{ \ln (1+h)}{h}=1.$

Théorème des croissances comparées - Ln - Exercice 1

Calculer (displaystylelim_{x \to +infty} x^3 – lnx).

Étape 1 : On factorise par (x^3).
Étape 2 : On utilise le théorème des croissances comparées pour lever l’indétermination.

Théorème des croissances comparées - Ln - Exercice 2

Calculer (limlimits_{begin{array}{l}x \to 0\x > 0end{array}} 1 + x – x^4lnx).

Étape 1 : On utilise le théorème des croissances comparées pour lever l’indétermination.

Théorème des croissances comparées - Ln - Exercice 3

Calculer (displaystylelim_{h \to 0} frac{ln(1+h)}{h}).

Étape 1 : On réécrit la limite de manière à faire apparaître (ln 1) au numérateur et (1 – 1) au dénominateur.
Étape 2 : On reconnait la formule du nombre dérivée de la fonction (ln) en 1.

Fonction Ln, théorème des croissances comparées. Démonstration