Vecteur position, vitesse et accélération

Ce sont trois vecteurs qui permettent de décrire un mouvement. En mécanique, le point $M$ va bouger et son mouvement va être décrit par ces trois vecteurs : accélération, position et vitesse. Leur utilisation sera décrite dans le cours sur la deuxième loi de Newton.

 

I. Vecteur position : $overrightarrow{OM}$

 

Pour décrire une position dans l’espace, on utilise un repère. Ce repère est un repère à coordonnées cartésiennes $(O ; x ; y ; z).$

Ces trois axes doivent être orthonormés directs. Avec les trois doigts de la main gauche, on peut faire les axes $x, y$ et $z$. On place ensuite le point $M$ de coordonnées $(x ;y ;z).$ Il faut s’entraîner à savoir les tracer au brouillon rapidement. On trace la projection $H$ de $M$ sur le plan $(O ;x ;y ;z).$

Pour cela on descend sur la parallèle à l’axe $z$ partant du point $M.$ On va ensuite tracer du point $H$ une parallèle à l’axe $overrightarrow{Oy}$ qui coupe l’axe $overrightarrow{Ox}$. On a la coordonnée $x.$ On trace la parallèle à l’axe $overrightarrow{Ox}$ qui coupe l’axe $overrightarrow{Oy}$ en $y.$

Ensuite, on trace une parallèle à $(HO)$ à partir du point $M$ qui coupe l’axe $overrightarrow{Oz}$. C’est la coordonnée $z.$ Mathématiquement, le vecteur $overrightarrow{OM}$ peut aussi s’écrire $overrightarrow{OM} = xoverrightarrow{u_x}+yoverrightarrow{u_y}+zoverrightarrow{u_z}$.

Les vecteurs dans l’expression sont des vecteurs unitaires qui caractérisent un déplacement de $x, y$ et $z$ quantités. On peut écrire les coordonnées du vecteur sous différentes formes.

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II. Vecteur vitesse : $overrightarrow{v}$

 

S’il n’y a pas de flèche sur le $v$ de la vitesse cela signifie qu’il s’agit de la norme de la vitesse et non du vecteur. On peut aussi y ajouter les barres de valeur absolue. Elle s’exprime en m/s (ou $m.s^{-1}$).

Le vecteur vitesse est la dérivée par rapport au temps du vecteur position : $overrightarrow{v} = dfrac{doverrightarrow{OM}}{dt}$.

On va l’exprimer comme ceci : $overrightarrow{v} = dfrac{d}{dt}(xoverrightarrow{ux}+ yoverrightarrow{uy}+ zoverrightarrow{uz} ) = dfrac{dx}{dt}overrightarrow{ux}+dfrac{dy}{dt}overrightarrow{uy}+dfrac{dz}{dt}overrightarrow{uz} = overrightarrow{v_x}overrightarrow{ux}+overrightarrow{v_y}overrightarrow{uy}+overrightarrow{v_z}overrightarrow{uz}$.

On a donc les dérivées qui correspondent aux vitesses en $x, y$ et $z.$ On peut aussi noter les dérivées avec la lettre et un point au-dessus. Si on mettait deux points au-dessus, cela voudrait dire qu’on dérive deux fois par rapport au temps.

Par exemple, on prend un vecteur $overrightarrow{OM}$ de coordonnée (2t, 3t, h). On veut connaître la vitesse. La vitesse est la dérivée de la position donc le vecteur vitesse a pour coordonnées (2, 3, 0).

On peut aussi l’écrire comme ceci : $overrightarrow{OM} = 2toverrightarrow{u_x} + 3toverrightarrow{u_y} + hoverrightarrow{u_z}$ et $overrightarrow{v} = 2overrightarrow{u_x} + 3overrightarrow{u_y}$.

La norme du vecteur vitesse est : $v = sqrt{v^2_x+v^2_y+v^2_z}$.

 

III. Vecteur accélération : $overrightarrow{a}$

 

C’est la dérivée de la vitesse par rapport au temps. C’est aussi la dérivée de la dérivée de la position : $overrightarrow{a} = dfrac{doverrightarrow{v}}{dt} = dfrac{d}{dt} (dfrac{doverrightarrow{OM}}{dt}) = dfrac{d^2overrightarrow{OM}}{dt^2}$.

On a donc dérivé deux fois la position.

$overrightarrow{a} = dfrac{dvx}{dt}overrightarrow{u_x} + dfrac{dvy}{dt}overrightarrow{u_y} + dfrac{dvz}{dt}overrightarrow{u_z}$.

Les dérivées correspondent au vecteur accélération en $x, y$ et $z. $

$overrightarrow{a} = dfrac{d^2x}{dt^2}overrightarrow{u_x} + dfrac{d^2y}{dt^2}overrightarrow{u_y} +dfrac{d^2z}{dt^2}overrightarrow{u_z}$.

Dans les exercices, on donnera $x, y$ et $z.$

Par exemple, si $overrightarrow{v} = 30overrightarrow{u_x}$ (on peut l’écrire aussi avec la barre). On dérive la vitesse pour avoir l’accélération : $overrightarrow{a} = overrightarrow{0} (m/s^2)$. Si on travaille avec l’écriture en barre, on aura zéro à chaque étage. Pour retrouver l’unité de l’accélération, on sait que c’est la dérivée de la vitesse en m/s sur un temps (s) donc l’accélération est en $m/s^2$ ou $m.s^{-2}$.

Repère de Frenet, mouvement circulaire

I. Repère de Frenet

 

Soit $M$ un point se déplaçant le long d’une trajectoire. Le repère de Frenet, comme tous les repères, est utile pour décrire position, vitesse et accélération du point $M.$

Le repère cartésien est lié à une origine à un endroit donné puis on va repérer un point $M$ qui se déplace grâce à deux vecteurs unitaires $overrightarrow{u_x}$, $overrightarrow{u_y}$ si l’on ne considère que deux dimensions.

Ici, on a deux vecteurs unitaires $overrightarrow{tau}$ (vecteur tangent) et $overrightarrow{n}$ (vecteur normal). Leur particularité est qu’ils vont être associés au point $M$ et qu’ils vont suivre ce point $M.$

Cela va permettre dans certaines situations de décrire beaucoup plus simplement le mouvement :

– Le vecteur $overrightarrow{tau}$ est un vecteur unitaire tangent à la trajectoire, c’est-à-dire qu’il est colinéaire au vecteur vitesse $overrightarrow{v}$, qui est lui-même tangent à la trajectoire. $overrightarrow{tau}$ est selon cette tangente dans le même sens que le vecteur vitesse.

– Le vecteur $overrightarrow{n}$ est quant à lui perpendiculaire au vecteur $overrightarrow{tau}$.

$overrightarrow{tau}$ et $overrightarrow{n}$ sont unitaires, ce qui signifie que la norme, l’intensité de chaque vecteur vaut 1. Le repère de Frenet est plus simple à utiliser dans certains cas car le vecteur vitesse peut s’écrire selon le vecteur unitaire $tau$, à savoir :

$overrightarrow{v(M)} = v(M)times overrightarrow{tau}$

avec $v(M)$ la valeur de la vitesse.

 

On rappelle que dans un repère cartésien, on exprime la vitesse ainsi :

$overrightarrow{v}(M) = x.overrightarrow{u_x} + y.overrightarrow{u_y}$

 

II. Cas du mouvement circulaire

 

Soit $M$ un point tournant autour de $O$ (l’origine du repère). De nombreux exemples peuvent illustrer ce mouvement circulaire, la Terre autour du Soleil ou la Lune autour du Soleil. On a donc $M$ qui tourne autour d’un centre, $R$ représente le rayon du cercle.

On pose une première hypothèse que $M$ tourne à vitesse constante. Le but est d’arriver à la fin à une relation entre vitesse et vitesse angulaire. Comme $M$ tourne à vitesse constante, on peut écrire :

$v = dfrac{d}{Delta t} = frac{2pi R}{T}$

 

On choisit ici la distance et la durée pour faire un tour. $T$ représente la période de révolution. $2pi R$ est le périmètre du cercle. On calcule ensuite $omega$ qui est la vitesse angulaire, en radians par seconde ($rad.s^{-1}$).

Pour calculer la vitesse angulaire, on écrit : $omega = dfrac{sigma}{Delta t} = dfrac{2 pi}{T}$

On se base aussi sur la valeur de l’angle et la durée pour effectuer un tour.

 

On constate donc que $v = dfrac{2pi R}{T} = omega times R$.

$v$ est en $m.s^{-1}$, $omega$ en $rad.s^{-1}$ et $R$ en $m$. On peut réécrire le vecteur vitesse $v$ comme étant :

$v = R times omega times t$

 

Pour rappel, $2pi = 360°$.

Pour utiliser la deuxième loi de Newton, il peut être intéressant d’écrire le vecteur accélération. L’accélération se décompose en deux termes : l’accélération tangentielle et l’accélération normale. On a ainsi :

$overrightarrow{a} = dfrac{dv}{dt} = dfrac{dv}{dt} times overrightarrow{tau} + dfrac{v^2}{R} times overrightarrow{n}$

 

Exemple

On considère un manège de rayon $R = 3m$, soit un point $M$ sur le bord entraîné par une vitesse $v = 30 km.h^{-1}$, que vaut son accélération normale ?

On a ainsi : $a_n = dfrac{v^{2}}{R} times n$ soit $a_n = dfrac{v^{2}}{R} = dfrac{(dfrac{30}{3,6})^{2}}{3} = 23 m.s^{-2}$

Attention la vitesse est en $km.h^{-1}$.

 

Remarque : ici la vitesse est constante. Or, la dérivée d’une constante est égale à zéro. Si le manège est à vitesse constante, alors la valeur de $a_t$ est nulle. Finalement, en mouvement accéléré uniforme, $a = a_n$.